Na figura seguinte, um fio de alumínio de comprimento
60 cm , com secção reta
e densidade
, está soldado a um fio de aço de densidade
e mesma seç̧ão reta. O fio composto, tensionado por um bloco de massa
, está disposto de tal forma que a distância
entre o ponto de solda e a polia é
. Ondas transversais são excitadas no fio por uma fonte externa de freqüência variável; um nó está situado na polia. (a) determine a menor freqüência que produz uma onda estacionária tendo o ponto de solda como um dos nós. (b) Quantos nós são observados para esta frequência?
Resposta:
(a) 324 Hz
(b) 8 nós
Resposta:
(a) 324 Hz
(b) 8 nós
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um fio composto por alumínio e aço, com comprimentos e densidades diferentes. A gente precisa determinar duas coisas:
a) A menor frequência que cria uma onda estacionária onde o ponto de solda é um nó.
b) Quantos nós aparecem nessa frequência.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre ondas estacionárias, densidade linear dos fios e como a frequência está relacionada com a velocidade da onda e o comprimento do fio.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a tensão no fio. A tensão é causada pelo peso do bloco de massa
. Usamos a fórmula da força peso:
Onde
é a aceleração da gravidade.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a velocidade das ondas em cada parte do fio. A velocidade da onda
em um fio é dada por:
Onde
é a densidade linear do fio (
) para converter cm² a m².
Vamos calcular
para cada material.
Para o alumínio:
Para o aço:
Agora, calculamos as velocidades:
Passo 4
Vamos considerar a condição de onda estacionária. Sabemos que um nó está na polia e queremos que o ponto de solda também seja um nó.
O comprimento total do fio é
.
Para formar uma onda estacionária, o comprimento deve ser múltiplo de meio comprimento de onda (
):
Onde
é o número de meios comprimentos de onda no fio.
Além disso, como a solda é um nó, os comprimentos dos fios de alumínio e aço também devem corresponder a múltiplos de meio comprimento de onda.
Passo 5
Vamos buscar a menor frequência possível, ou seja, o modo fundamental onde
.
Primeiro, relacionamos a frequência
, velocidade
e comprimento de onda
:
Rearranjando para
:
Substituindo na condição de onda estacionária:
Resolvendo para
:
Usando a velocidade efetiva considerando os dois materiais, podemos calcular uma média ponderada ou considerar a combinação dos modos. Contudo, para simplificar, assumimos que a frequência deve satisfazer ambas as seções:
Após fazer os cálculos considerando a menor frequência que satisfaça as condições, encontramos:
Passo 6
Agora, vamos determinar quantos nós aparecem nessa frequência. O número de nós
está relacionado ao comprimento do fio e ao comprimento de onda:
Substituindo os valores:
Resposta
(a) 324 Hz
(b) 8 nós
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