Coloca-se uma barra de metal, à temperatura de 100°F em um quarto com temperatura constante de 0° F. Se, após 20 minutos a temperaturada barra é de 50 graus F, determine:
(a) O tempo necessário para a barra chegar à temperatura de 25 graus F Rpt. t = 39.6.
(b) A temperatura da barra após 10 minutos.
Rpt. T = 70.5 °F.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma barra de metal que tá inicialmente a 100°F e ela foi colocada num quarto que mantém a temperatura constante de 0 graus F. Depois de 20 minutos, a barra esfriou para 50 °F. Vamos usar a Lei do Resfriamento de Newton para resolver as questões. Essa lei nos ajuda a entender como a temperatura de um objeto muda ao longo do tempo quando está trocando calor com o ambiente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da Lei do Resfriamento de Newton. Ela diz que a taxa de variação da temperatura da barra é proporcional à diferença entre a temperatura da barra e a temperatura ambiente. A equação diferencial é:
Onde:
  • T(t) é a temperatura da barra no tempo t.
  • é a temperatura ambiente, que nesse caso é 0 graus F.
  • k é uma constante positiva que depende das propriedades do material e das condições do ambiente.

Passo 3

Vamos resolver essa equação diferencial. Separando as variáveis, temos:
Integrando ambos os lados:
Onde C é a constante de integração. Podemos reescrever isso como:

Passo 4

Agora, usamos as condições iniciais para encontrar C e k. No tempo t = 0, a temperatura da barra é 100°F:
Então, a equação fica:

Passo 5

Sabemos que após 20 minutos, a temperatura é 50 °F:
Dividindo ambos os lados por 100:
Aplicando o logaritmo natural:

Passo 6

Agora, temos a equação completa da temperatura:

Passo 7

Queremos saber o tempo necessário para a barra chegar a :
Dividindo por 100:
Tomando o logaritmo natural:
Sabendo que :
Simplificando:
(Note que o valor dado na questão é t = 39.6, que é uma aproximação.)
Resposta Final para a letra (a): O tempo necessário para a barra chegar a é aproximadamente minutos.

Passo 8

Queremos encontrar a temperatura da barra após 10 minutos:
Usando a equação:
Calculando:
Então:
Resposta Final para a letra (b): A temperatura da barra após 10 minutos é aproximadamente .

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