Coloca-se uma barra de metal, à temperatura de em um quarto com temperatura constante de . Se, após 20 minutos a temperaturada barra é de , determine: (a) O tempo necessário para a barra chegar à temperatura de Rpt. . (b) A temperatura da barra após 10 minutos. Rpt. .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma barra de metal que tá inicialmente a e ela foi colocada num quarto que mantém a temperatura constante de . Depois de 20 minutos, a barra esfriou para . Vamos usar a **Lei do Resfriamento de Newton** para resolver as questões. Essa lei nos ajuda a entender como a temperatura de um objeto muda ao longo do tempo quando está trocando calor com o ambiente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da Lei do Resfriamento de Newton. Ela diz que a taxa de variação da temperatura da barra é proporcional à diferença entre a temperatura da barra e a temperatura ambiente. A equação diferencial é: Onde: - é a temperatura da barra no tempo . - é a temperatura ambiente, que nesse caso é . - é uma constante positiva que depende das propriedades do material e das condições do ambiente.

Passo 3

Vamos resolver essa equação diferencial. Separando as variáveis, temos: Integrando ambos os lados: Onde é a constante de integração. Podemos reescrever isso como:

Passo 4

Agora, usamos as condições iniciais para encontrar e . No tempo , a temperatura da barra é : Então, a equação fica:

Passo 5

Sabemos que após 20 minutos, a temperatura é : Dividindo ambos os lados por 100: Aplicando o logaritmo natural:

Passo 6

Agora, temos a equação completa da temperatura:

Passo 7

Queremos saber o tempo necessário para a barra chegar a : Dividindo por 100: Tomando o logaritmo natural: Sabendo que : Simplificando: (Note que o valor dado na questão é , que é uma aproximação.) **Resposta Final para a letra (a):** O tempo necessário para a barra chegar a é aproximadamente minutos.

Passo 8

Queremos encontrar a temperatura da barra após 10 minutos: Usando a equação: Calculando: Então: **Resposta Final para a letra (b):** A temperatura da barra após 10 minutos é aproximadamente .

Resposta

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