Coloca-se uma barra de metal, à temperatura de em um quarto com temperatura constante de . Se, após 20 minutos a temperaturada barra é de , determine:
(a) O tempo necessário para a barra chegar à temperatura de Rpt. .
(b) A temperatura da barra após 10 minutos.
Rpt. .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma barra de metal que tá inicialmente a e ela foi colocada num quarto que mantém a temperatura constante de . Depois de 20 minutos, a barra esfriou para . Vamos usar a **Lei do Resfriamento de Newton** para resolver as questões. Essa lei nos ajuda a entender como a temperatura de um objeto muda ao longo do tempo quando está trocando calor com o ambiente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da Lei do Resfriamento de Newton. Ela diz que a taxa de variação da temperatura da barra é proporcional à diferença entre a temperatura da barra e a temperatura ambiente. A equação diferencial é:
Onde:
- é a temperatura da barra no tempo .
- é a temperatura ambiente, que nesse caso é .
- é uma constante positiva que depende das propriedades do material e das condições do ambiente.
Passo 3
Vamos resolver essa equação diferencial. Separando as variáveis, temos:
Integrando ambos os lados:
Onde é a constante de integração. Podemos reescrever isso como:
Passo 4
Agora, usamos as condições iniciais para encontrar e . No tempo , a temperatura da barra é :
Então, a equação fica:
Passo 5
Sabemos que após 20 minutos, a temperatura é :
Dividindo ambos os lados por 100:
Aplicando o logaritmo natural:
Passo 6
Agora, temos a equação completa da temperatura:
Passo 7
Queremos saber o tempo necessário para a barra chegar a :
Dividindo por 100:
Tomando o logaritmo natural:
Sabendo que :
Simplificando:
(Note que o valor dado na questão é , que é uma aproximação.)
**Resposta Final para a letra (a):** O tempo necessário para a barra chegar a é aproximadamente minutos.
Passo 8
Queremos encontrar a temperatura da barra após 10 minutos:
Usando a equação:
Calculando:
Então:
**Resposta Final para a letra (b):** A temperatura da barra após 10 minutos é aproximadamente .