Coloca-se uma barra de metal, à temperatura de
em um quarto com temperatura constante de
. Se, após 20 minutos a temperaturada barra é de
, determine:
(a) O tempo necessário para a barra chegar à temperatura de
Rpt.
.
(b) A temperatura da barra após 10 minutos.
Rpt.
.
(a) O tempo necessário para a barra chegar à temperatura de
(b) A temperatura da barra após 10 minutos.
Rpt.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma barra de metal que tá inicialmente a
e ela foi colocada num quarto que mantém a temperatura constante de
. Depois de 20 minutos, a barra esfriou para
. Vamos usar a Lei do Resfriamento de Newton para resolver as questões. Essa lei nos ajuda a entender como a temperatura de um objeto muda ao longo do tempo quando está trocando calor com o ambiente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da Lei do Resfriamento de Newton. Ela diz que a taxa de variação da temperatura da barra é proporcional à diferença entre a temperatura da barra e a temperatura ambiente. A equação diferencial é:
Onde:
-
é a temperatura da barra no tempo . -
é a temperatura ambiente, que nesse caso é . -
é uma constante positiva que depende das propriedades do material e das condições do ambiente.
Passo 3
Vamos resolver essa equação diferencial. Separando as variáveis, temos:
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração. Podemos reescrever isso como:
Passo 4
Agora, usamos as condições iniciais para encontrar
e
. No tempo
, a temperatura da barra é
:
Então, a equação fica:
Passo 5
Sabemos que após 20 minutos, a temperatura é
:
Dividindo ambos os lados por 100:
Aplicando o logaritmo natural:
Passo 6
Agora, temos a equação completa da temperatura:
Passo 7
Queremos saber o tempo necessário para a barra chegar a
:
Dividindo por 100:
Tomando o logaritmo natural:
Sabendo que
:
Simplificando:
(Note que o valor dado na questão é
, que é uma aproximação.)
Resposta Final para a letra (a): O tempo necessário para a barra chegar a
é aproximadamente
minutos.
Passo 8
Queremos encontrar a temperatura da barra após 10 minutos:
Usando a equação:
Calculando:
Então:
Resposta Final para a letra (b): A temperatura da barra após 10 minutos é aproximadamente
.