Resolva as seguintes equações diferenciais de Bernoulli.
(2) y' - 3/x = x^4 * y^(1/3)
Rpt. |y| = (c x^2 + 2/9 x^5)^(3/2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de Bernoulli que é a seguinte:

Esse tipo de equação se chama Equação de Bernoulli e a gente vai precisar usar uma técnica específica para resolvê-la. Basicamente, vamos transformar a equação em uma forma que a gente consiga resolver mais fácil, usando substituições.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar tudo certinho no formato padrão da Equação de Bernoulli, que é:

No nosso caso, podemos rearranjar a equação original assim:
Aqui, temos:

Passo 3

Agora, para resolver uma Equação de Bernoulli, a gente faz uma substituição. Vamos definir:

Aí, calculamos a derivada de em relação a :
Vamos substituir da equação original na expressão de .

Passo 4

Substituindo na equação:

Simplificando:
Essa é uma equação linear de primeira ordem em , que a gente consegue resolver usando um fator integrante.

Passo 5

Vamos encontrar o fator integrante :

Multiplicando toda a equação por :
Isso fica:

Passo 6

Integrando ambos os lados:

Dividindo por :

Passo 7

Lembrando que , vamos elevar ambos os lados à potência :

Simplificando os coeficientes:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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