Resolva as seguintes equações diferenciais de Bernoulli.
(2)
Rpt.
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(2)
Rpt.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de Bernoulli que é a seguinte:
Esse tipo de equação se chama Equação de Bernoulli e a gente vai precisar usar uma técnica específica para resolvê-la. Basicamente, vamos transformar a equação em uma forma que a gente consiga resolver mais fácil, usando substituições.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar tudo certinho no formato padrão da Equação de Bernoulli, que é:
No nosso caso, podemos rearranjar a equação original assim:
Aqui, temos:
Passo 3
Agora, para resolver uma Equação de Bernoulli, a gente faz uma substituição. Vamos definir:
Aí, calculamos a derivada de
Vamos substituir
da equação original na expressão de
.
Passo 4
Substituindo na equação:
Simplificando:
Essa é uma equação linear de primeira ordem em
, que a gente consegue resolver usando um fator integrante.
Passo 5
Vamos encontrar o fator integrante
:
Multiplicando toda a equação por
Isso fica:
Passo 6
Integrando ambos os lados:
Dividindo por
Passo 7
Lembrando que
, vamos elevar ambos os lados à potência
:
Simplificando os coeficientes:
Resposta
A solução da equação diferencial é: