Resolva as seguintes equações diferenciais de Bernoulli.
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Rpt. .
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de Bernoulli que é a seguinte:
Esse tipo de equação se chama Equação de Bernoulli e a gente vai precisar usar uma técnica específica para resolvê-la. Basicamente, vamos transformar a equação em uma forma que a gente consiga resolver mais fácil, usando substituições.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar tudo certinho no formato padrão da Equação de Bernoulli, que é:
No nosso caso, podemos rearranjar a equação original assim:
Aqui, temos:
Passo 3
Agora, para resolver uma Equação de Bernoulli, a gente faz uma substituição. Vamos definir:
Aí, calculamos a derivada de em relação a :
Vamos substituir da equação original na expressão de .
Passo 4
Substituindo na equação:
Simplificando:
Essa é uma equação linear de primeira ordem em , que a gente consegue resolver usando um fator integrante.
Passo 5
Vamos encontrar o fator integrante :
Multiplicando toda a equação por :
Isso fica:
Passo 6
Integrando ambos os lados:
Dividindo por :
Passo 7
Lembrando que , vamos elevar ambos os lados à potência :