Resolva os problemas de contorno via transformada de Laplace:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício de equações diferenciais parciais. A gente tem uma equação que descreve como uma quantidade varia no espaço () e no tempo (). O objetivo aqui é resolver essa equação usando a transformada de Laplace, que é uma ferramenta matemática bem útil para resolver equações diferenciais. Para isso, vamos precisar aplicar a transformada de Laplace na variável e resolver a equação resultante.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace na equação diferencial dada. A transformada de Laplace transforma a equação original em uma equação mais fácil de resolver. A equação original é:
k partial^2 upartial x^2 = partial upartial t
Aplicando a transformada de Laplace em relação a k d^2 Ud x^2 = s U - u(x, 0) , temos:
Aqui, é a transformada de Laplace de , e usamos que a transformada de é .
Passo 3
Agora, substituímos a condição inicial k d^2 Ud x^2 = s U na equação transformada:
d^2 Ud x^2 - sk U = 0
Essa é uma equação diferencial ordinária em , que podemos reescrever como:
Passo 4
Vamos resolver essa equação diferencial. A solução geral dessa equação é da forma:
U(x, s) = A e^raizsk x + B e^-raizsk x
Aqui, e são constantes que vamos determinar usando as condições de contorno.
Passo 5
Aplicamos as condições de contorno para encontrar U(x, s) = B e^-raizsk x e U(0, s) = u0s .
Primeira condição: B = u0s .
Para que a solução não cresça no infinito, devemos ter U(x, s) = u0s e^-raizsk x . Assim, a solução se simplifica para:
Segunda condição: .
Aplicamos a transformada de Laplace nisso:
Substituindo na solução:
Então, a solução transformada fica:
Passo 6
Agora, precisamos aplicar a transformada inversa de Laplace para encontrar L^-1 1s e^-a raizs = u0raizpi k t e^-x^24 k t . Sabemos que: