Resolva os problemas de contorno via transformada de Laplace:

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício de equações diferenciais parciais. A gente tem uma equação que descreve como uma quantidade varia no espaço ( ) e no tempo ( ). O objetivo aqui é resolver essa equação usando a transformada de Laplace, que é uma ferramenta matemática bem útil para resolver equações diferenciais. Para isso, vamos precisar aplicar a transformada de Laplace na variável e resolver a equação resultante.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace na equação diferencial dada. A transformada de Laplace transforma a equação original em uma equação mais fácil de resolver. A equação original é:
Aplicando a transformada de Laplace em relação a , temos:
Aqui, é a transformada de Laplace de , e usamos que a transformada de é .

Passo 3

Agora, substituímos a condição inicial na equação transformada:
Essa é uma equação diferencial ordinária em , que podemos reescrever como:

Passo 4

Vamos resolver essa equação diferencial. A solução geral dessa equação é da forma:
Aqui, e são constantes que vamos determinar usando as condições de contorno.

Passo 5

Aplicamos as condições de contorno para encontrar e .
Primeira condição: .
Para que a solução não cresça no infinito, devemos ter . Assim, a solução se simplifica para:
Segunda condição: .
Aplicamos a transformada de Laplace nisso:
Substituindo na solução:
Então, a solução transformada fica:

Passo 6

Agora, precisamos aplicar a transformada inversa de Laplace para encontrar . Sabemos que:
onde .
Então, aplicando a transformada inversa:

Resposta

A solução da equação de contorno é

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Coloca-se uma barra de metal, à temperatura de em um quarto com temperatura constante de . Se, após 20 minutos a temperaturada barra é de , determine:
(a) O tempo necessário para a barra chegar à temperatura de Rpt. .
(b) A temperatura da barra após 10 minutos.
Rpt. .
Obter a Equação Diferencial associada à primitiva , sendo A e B constantes arbitrárias e a uma constante fixada.
Resolva a equação diferencial dada, verificando que seja não exata.
(6) .
Resolva a equação diferencial dada, verificando que seja não exata.
(5) .