Resolva os problemas de contorno via transformada de Laplace:
lk partial^2 upartial x^2=partial upartial t, x>0, t>0 u(0, t)=u0, lim x infty u(x, t)=0, t>0 u(x, 0)=0, x>0

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício de equações diferenciais parciais. A gente tem uma equação que descreve como uma quantidade varia no espaço ( ) e no tempo ( ). O objetivo aqui é resolver essa equação usando a transformada de Laplace, que é uma ferramenta matemática bem útil para resolver equações diferenciais. Para isso, vamos precisar aplicar a transformada de Laplace na variável e resolver a equação resultante.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace na equação diferencial dada. A transformada de Laplace transforma a equação original em uma equação mais fácil de resolver. A equação original é:
k partial^2 upartial x^2 = partial upartial t
Aplicando a transformada de Laplace em relação a k d^2 Ud x^2 = s U - u(x, 0) , temos:
Aqui, é a transformada de Laplace de , e usamos que a transformada de é .

Passo 3

Agora, substituímos a condição inicial k d^2 Ud x^2 = s U na equação transformada:
d^2 Ud x^2 - sk U = 0
Essa é uma equação diferencial ordinária em , que podemos reescrever como:

Passo 4

Vamos resolver essa equação diferencial. A solução geral dessa equação é da forma:
U(x, s) = A e^raizsk x + B e^-raizsk x
Aqui, e são constantes que vamos determinar usando as condições de contorno.

Passo 5

Aplicamos as condições de contorno para encontrar U(x, s) = B e^-raizsk x e U(0, s) = u0s .
Primeira condição: B = u0s .
Para que a solução não cresça no infinito, devemos ter U(x, s) = u0s e^-raizsk x . Assim, a solução se simplifica para:
Segunda condição: .
Aplicamos a transformada de Laplace nisso:
Substituindo na solução:
Então, a solução transformada fica:

Passo 6

Agora, precisamos aplicar a transformada inversa de Laplace para encontrar L^-1 1s e^-a raizs = u0raizpi k t e^-x^24 k t . Sabemos que:
u(x, t) = u0 , erfc( x2 raizk t )
onde .
Então, aplicando a transformada inversa:

Resposta

A solução da equação de contorno é
u(x, t) = u0 , erfc( x2 raizk t )

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