Uma colônia de bactérias cresce a uma razão proporcional ao número de bactérias presente. Se o número duplica em 5 horas, quando ela triplicará? Quantas horas serão necessárias para que o número de bactérias aumente de 100 vezes a quantidade original?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de crescimento bacteriano! A questão diz que a colônia de bactérias cresce de forma proporcional ao número de bactérias presentes. Isso significa que estamos lidando com crescimento exponencial, que é um conceito da matemática que descreve como algo pode crescer muito rápido. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula do crescimento exponencial e entender como aplicar os dados que temos sobre o tempo para a colônia dobrar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula do crescimento exponencial:
Aqui, é o número de bactérias no tempo , é o número inicial de bactérias, é a base dos logaritmos naturais, e é a taxa de crescimento que precisamos encontrar.

Passo 3

Sabemos que a colônia duplica em 5 horas. Isso significa que:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por :
Para encontrar , vamos tirar o logaritmo natural dos dois lados:
Então:

Passo 4

Agora que temos , vamos descobrir quando a colônia triplicará. Queremos encontrar o tempo tal que:
Dividindo por :
Pegando o logaritmo natural:
Substituindo :
Resolvendo para :
Calculando os valores:

Passo 5

Agora, vamos encontrar quanto tempo leva para a colônia aumentar 100 vezes. Queremos tal que:
Dividindo por :
Pegando o logaritmo natural:
Substituindo :
Resolvendo para :
Calculando os valores:

Resposta

A colônia triplicará em aproximadamente 7,92 horas e levará cerca de 33,2 horas para aumentar 100 vezes a quantidade original.

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