Uma colônia de bactérias cresce a uma razão proporcional ao número de bactérias presente. Se o número duplica em 5 horas, quando ela triplicará? Quantas horas serão necessárias para que o número de bactérias aumente de 100 vezes a quantidade original?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de crescimento bacteriano! A questão diz que a colônia de bactérias cresce de forma proporcional ao número de bactérias presentes. Isso significa que estamos lidando com crescimento exponencial, que é um conceito da matemática que descreve como algo pode crescer muito rápido. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula do crescimento exponencial e entender como aplicar os dados que temos sobre o tempo para a colônia dobrar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula do crescimento exponencial:
Aqui,
é o número de bactérias no tempo
,
é o número inicial de bactérias,
é a base dos logaritmos naturais, e
é a taxa de crescimento que precisamos encontrar.
Passo 3
Sabemos que a colônia duplica em 5 horas. Isso significa que:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por
:
Para encontrar
, vamos tirar o logaritmo natural dos dois lados:
Então:
Passo 4
Agora que temos
, vamos descobrir quando a colônia triplicará. Queremos encontrar o tempo
tal que:
Dividindo por
:
Pegando o logaritmo natural:
Substituindo
:
Resolvendo para
:
Calculando os valores:
Passo 5
Agora, vamos encontrar quanto tempo leva para a colônia aumentar 100 vezes. Queremos
tal que:
Dividindo por
:
Pegando o logaritmo natural:
Substituindo
:
Resolvendo para
:
Calculando os valores:
Resposta
A colônia triplicará em aproximadamente 7,92 horas e levará cerca de 33,2 horas para aumentar 100 vezes a quantidade original.