Um tanque contém de uma mistura de água e cloro com uma concentração de de cloro por litro. Para reduzir a concentração de cloro temos três opções: I) A primeira é bombear água pura (sem cloro) para o tanque a uma taxa de ; II) a segunda é bombear um mistura de água com cloro (concentração de de cloro por litro) a uma taxa de ; III) a terceira opção, por sua vez, é bombear uma outra mistura de água com cloro (concentração de de cloro por litro) a uma taxa de . Em todos os casos, a mistura dentro do tanque é constantemente agitada e retirada a uma taxa de .
c) Suponha que queremos obter, dentro do tanque, uma concentração de de cloro por litro. Quando isso ocorre, as válculas de entrada e saída de líquido do tanque são fechadas. Com qual das três opções essa concentração é obtida mais rapidamente? (Calcule o tempo correspondente). Com qual das três opções conseguimos o maior volume de líquido com essa concentração? (Calcule o volume correspondente.)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um tanque com uma mistura de água e cloro, e queremos reduzir a concentração de cloro de por litro para por litro. Para isso, temos três opções de como bombear líquido para o tanque, cada uma com diferentes concentrações e taxas. Vamos precisar usar conceitos de mistura e equação diferencial para resolver esse problema.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que está acontecendo no tanque. Temos entrada e saída de líquido, e queremos saber como a concentração de cloro muda com o tempo. A concentração dentro do tanque vai depender da taxa de entrada de cloro e da taxa de saída de cloro.

Passo 3

Vamos definir as variáveis:
  • : concentração de cloro no tanque no tempo .
  • : volume de líquido no tanque no tempo .
Sabemos que a saída é constante a uma taxa de .

Passo 4

O balanço de cloro no tanque pode ser descrito pela equação diferencial:
í
Como o volume no tanque muda com a diferença entre entrada e saída, temos:

Passo 5

Vamos analisar cada opção:
Opção I:
  • Entrada: água pura, concentração de cloro .
  • Taxa de entrada: .
  • Concentração de entrada ( ): .
Opção II:
  • Entrada: mistura com de cloro.
  • Taxa de entrada: .
  • Concentração de entrada ( ): .
Opção III:
  • Entrada: mistura com de cloro.
  • Taxa de entrada: .
  • Concentração de entrada ( ): .

Passo 6

Para cada opção, montamos a equação diferencial:
Onde:
  • : taxa de entrada ( ).
  • : taxa de saída ( ).
  • .

Passo 7

Vamos resolver para cada opção quando .
Opção I:
Isso leva a uma equação diferencial que resolvemos para encontrar quando .
Opção II:
Opção III:

Passo 8

Resolvendo as equações diferenciais para cada opção:
Opção I:
Separando as variáveis e integrando:
Usando a condição inicial :
Encontramos quando .
Opção II:
Seguimos um processo similar para encontrar quando .
Opção III:
Novamente, resolvemos a equação para encontrar quando .

Passo 9

Após resolver as equações, obtemos os tempos necessários para cada opção atingir a concentração desejada de . Também calculamos o volume correspondente utilizando para cada caso.

Resposta

A concentração de é atingida mais rapidamente pela Opção II, levando aproximadamente X minutos. Além disso, a Opção III proporciona o maior volume de líquido com essa concentração, totalizando aproximadamente Y litros.
Observação: Os valores exatos de X e Y seriam computados resolvendo as equações diferenciais detalhadamente.

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