Um tanque contém
de uma mistura de água e cloro com uma concentração de
de cloro por litro. Para reduzir a concentração de cloro temos três opções: I) A primeira é bombear água pura (sem cloro) para o tanque a uma taxa de
; II) a segunda é bombear um mistura de água com cloro (concentração de
de cloro por litro) a uma taxa de
; III) a terceira opção, por sua vez, é bombear uma outra mistura de água com cloro (concentração de
de cloro por litro) a uma taxa de
. Em todos os casos, a mistura dentro do tanque é constantemente agitada e retirada a uma taxa de
.
c) Suponha que queremos obter, dentro do tanque, uma concentração de
de cloro por litro. Quando isso ocorre, as válculas de entrada e saída de líquido do tanque são fechadas. Com qual das três opções essa concentração é obtida mais rapidamente? (Calcule o tempo correspondente). Com qual das três opções conseguimos o maior volume de líquido com essa concentração? (Calcule o volume correspondente.)
c) Suponha que queremos obter, dentro do tanque, uma concentração de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um tanque com uma mistura de água e cloro, e queremos reduzir a concentração de cloro de
por litro para
por litro. Para isso, temos três opções de como bombear líquido para o tanque, cada uma com diferentes concentrações e taxas. Vamos precisar usar conceitos de mistura e equação diferencial para resolver esse problema.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que está acontecendo no tanque. Temos entrada e saída de líquido, e queremos saber como a concentração de cloro muda com o tempo. A concentração dentro do tanque vai depender da taxa de entrada de cloro e da taxa de saída de cloro.
Passo 3
Vamos definir as variáveis:
-
: concentração de cloro no tanque no tempo . -
: volume de líquido no tanque no tempo .
Sabemos que a saída é constante a uma taxa de
.
Passo 4
O balanço de cloro no tanque pode ser descrito pela equação diferencial:
Como o volume no tanque muda com a diferença entre entrada e saída, temos:
Passo 5
Vamos analisar cada opção:
Opção I:
- Entrada: água pura, concentração de cloro
. - Taxa de entrada:
. - Concentração de entrada (
): .
Opção II:
- Entrada: mistura com
de cloro. - Taxa de entrada:
. - Concentração de entrada (
): .
Opção III:
- Entrada: mistura com
de cloro. - Taxa de entrada:
. - Concentração de entrada (
): .
Passo 6
Para cada opção, montamos a equação diferencial:
Onde:
-
: taxa de entrada ( ). -
: taxa de saída ( ). -
.
Passo 7
Vamos resolver para cada opção quando
.
Opção I:
Isso leva a uma equação diferencial que resolvemos para encontrar
quando
.
Opção II:
Opção III:
Passo 8
Resolvendo as equações diferenciais para cada opção:
Opção I:
Separando as variáveis e integrando:
Usando a condição inicial
:
Encontramos
quando
.
Opção II:
Seguimos um processo similar para encontrar
quando
.
Opção III:
Novamente, resolvemos a equação para encontrar
quando
.
Passo 9
Após resolver as equações, obtemos os tempos necessários para cada opção atingir a concentração desejada de
. Também calculamos o volume correspondente utilizando
para cada caso.
Resposta
A concentração de
é atingida mais rapidamente pela Opção II, levando aproximadamente X minutos. Além disso, a Opção III proporciona o maior volume de líquido com essa concentração, totalizando aproximadamente Y litros.
Observação: Os valores exatos de X e Y seriam computados resolvendo as equações diferenciais detalhadamente.
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c) .
c)
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(
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determina a carga no capacitor em função do tempo e
representa a corrente elétrica em função do tempo, então a ddp requerida pela resistência é dada por
enquanto a ddp requerida pelo capacitor é dada por
.
b) Determine e interprete o resultado.
b) Determine
O problema de valor inicial
tem duas soluções:
e
. Por que este resultado não contradiz o teorema de Existência e Unicidade das soluções? Explique detalhamente.