Resolva equaçãoes com funcao homogenia ou quasi homogenia:
c)
.
c)
Passo 1
Então, a gente tem a seguinte equação diferencial para resolver:
. Estamos lidando com equações diferenciais homogêneas ou quase homogêneas. Para resolver isso, vamos precisar identificar se a equação é homogênea e, se for, aplicar as técnicas adequadas para encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a equação é homogênea. Uma equação diferencial do tipo
é homogênea se
e
, onde
é o grau de homogeneidade.
Na nossa equação:
Vamos verificar a homogeneidade:
- Substituindo
e em : - Substituindo
e em :
Como ambos
e
têm grau de homogeneidade 2, a equação é homogênea.
Passo 3
Agora que sabemos que a equação é homogênea, podemos fazer uma substituição para simplificar. Vamos usar a substituição
. Isso significa que
e, ao derivar ambos os lados em relação a
, temos:
Passo 4
Vamos reescrever a equação original na forma
algo. Começando com:
Dividindo ambos os lados por
:
Isolando
:
Passo 5
Agora, substituímos
e
na equação:
Passo 6
Vamos rearranjar para isolar
:
Então:
Passo 7
Agora, temos uma equação separável. Vamos separar as variáveis
e
:
Passo 8
Integrando ambos os lados:
Para o lado esquerdo, fazemos uma substituição
, então
, ou seja,
. Assim:
Para o lado direito:
Passo 9
Igualando as integrais:
Multiplicando ambos os lados por 3 para simplificar:
Onde
é uma constante arbitrária.
Passo 10
Substituindo
de volta:
Podemos reescrever isso como:
Ou, de forma exponencial:
Onde
é uma nova constante.
Resposta
A solução geral da equação é
, onde
é a constante de integração.