Resolva equaçãoes com funcao homogenia ou quasi homogenia:
c) 2xy dy + (x^2 + y^2) dx = 0.

Passo 1

Então, a gente tem a seguinte equação diferencial para resolver: . Estamos lidando com equações diferenciais homogêneas ou quase homogêneas. Para resolver isso, vamos precisar identificar se a equação é homogênea e, se for, aplicar as técnicas adequadas para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a equação é homogênea. Uma equação diferencial do tipo é homogênea se e , onde é o grau de homogeneidade.
Na nossa equação:
Vamos verificar a homogeneidade:
  • Substituindo e em :
  • Substituindo e em :
Como ambos e têm grau de homogeneidade 2, a equação é homogênea.

Passo 3

Agora que sabemos que a equação é homogênea, podemos fazer uma substituição para simplificar. Vamos usar a substituição . Isso significa que e, ao derivar ambos os lados em relação a , temos:

Passo 4

Vamos reescrever a equação original na forma algo. Começando com:
Dividindo ambos os lados por :
Isolando :

Passo 5

Agora, substituímos e na equação:

Passo 6

Vamos rearranjar para isolar :
Então:

Passo 7

Agora, temos uma equação separável. Vamos separar as variáveis e :

Passo 8

Integrando ambos os lados:
Para o lado esquerdo, fazemos uma substituição , então , ou seja, . Assim:
Para o lado direito:

Passo 9

Igualando as integrais:
Multiplicando ambos os lados por 3 para simplificar:
Onde é uma constante arbitrária.

Passo 10

Substituindo de volta:
Podemos reescrever isso como:
Ou, de forma exponencial:
Onde é uma nova constante.

Resposta

A solução geral da equação é , onde é a constante de integração.

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