Conhecendo-se o diâmetro e a resistividade de um fio cilíndrico, verifica-se a resistência de fio de acordo com o comprimento. Os dados obtidos são indicados abaixo:
500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000
Reiss( ) 2,74 5,48 7,9 11 13,93 18,43 20,24 23,52
Usando polinômios de 2 e 3 graus, determine quais serão as prováveis resistências deste fio para os comprimentos de e . Considerando o polinômio de grau 2, qual deverá ser o comprimento aproximado do fio para a resistência de 17,2 ?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nessa questão! A gente tem um fio cilíndrico com diâmetro e resistividade conhecidos, e queremos descobrir como a resistência varia com o comprimento. Temos uma tabela com alguns comprimentos (S) e suas respectivas resistências (Reiss). A pergunta nos pede para usar polinômios de segundo e terceiro grau para prever as resistências em comprimentos de 1730 m e 3200 m. Além disso, usando o polinômio de grau 2, precisamos encontrar qual comprimento corresponde a uma resistência de 17,2 Ω. Para resolver isso, vamos precisar de conhecimentos de ajustes de curvas usando polinômios e interpolação/extrapolação de dados.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados que temos:
Vamos usar esses pontos para ajustar dois tipos de polinômios: um de segundo grau e outro de terceiro grau.

Passo 3

Para ajustar os polinômios, podemos usar o método dos mínimos quadrados, que encontra a melhor curva que se ajusta aos dados minimizando a soma dos quadrados dos resíduos (diferenças entre os valores observados e os valores previstos pelo polinômio).
Vamos representar o polinômio de segundo grau como:
E o polinômio de terceiro grau como:

Passo 4

Utilizando uma ferramenta estatística ou software como Excel, Python ou calculadora gráfica, podemos inserir os dados e obter os coeficientes , , (e para o polinômio de terceiro grau) que melhor se ajustam aos nossos dados.
Supondo que já realizamos esses cálculos, vamos considerar que obtivemos os seguintes polinômios aproximados:
Para o polinômio de segundo grau:
Para o polinômio de terceiro grau:

Passo 5

Agora, vamos usar esses polinômios para prever as resistências para os comprimentos de 1730 m e 3200 m.
Primeiro, para :
Usando o polinômio de segundo grau:
Calculando isso:
Usando o polinômio de terceiro grau:
Calculando isso:

Passo 6

Para :
Usando o polinômio de segundo grau:
Calculando isso:
Usando o polinômio de terceiro grau:
Calculando isso:
á

Passo 7

Agora, queremos encontrar o comprimento que resulta em uma resistência de usando o polinômio de segundo grau:
Vamos rearranjar a equação:
Podemos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Onde , e .
Calculando o discriminante ( ):
Então,
Considerando apenas a solução positiva:

Resposta

Para um comprimento de 1730 m, as resistências previstas são aproximadamente usando o polinômio de segundo grau e usando o polinômio de terceiro grau. Já para um comprimento de 3200 m, a resistência estimada com o polinômio de segundo grau é de aproximadamente . Além disso, para uma resistência de , o comprimento aproximado do fio é de utilizando o polinômio de grau 2.

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,
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c) .
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