Conhecendo-se o diâmetro e a resistividade de um fio cilíndrico, verifica-se a resistência de fio de acordo com o comprimento. Os dados obtidos são indicados abaixo:
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500 | 1000 | 1500 | 2000 | 2500 | 3000 | 3500 | 4000 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Reiss(
|
2,74 | 5,48 | 7,9 | 11 | 13,93 | 18,43 | 20,24 | 23,52 |
Usando polinômios de 2 e 3 graus, determine quais serão as prováveis resistências deste fio para os comprimentos de
e
. Considerando o polinômio de grau 2, qual deverá ser o comprimento aproximado do fio para a resistência de 17,2 ?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nessa questão! A gente tem um fio cilíndrico com diâmetro e resistividade conhecidos, e queremos descobrir como a resistência varia com o comprimento. Temos uma tabela com alguns comprimentos (S) e suas respectivas resistências (Reiss). A pergunta nos pede para usar polinômios de segundo e terceiro grau para prever as resistências em comprimentos de 1730 m e 3200 m. Além disso, usando o polinômio de grau 2, precisamos encontrar qual comprimento corresponde a uma resistência de 17,2 Ω. Para resolver isso, vamos precisar de conhecimentos de ajustes de curvas usando polinômios e interpolação/extrapolação de dados.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar os dados que temos:
Vamos usar esses pontos para ajustar dois tipos de polinômios: um de segundo grau e outro de terceiro grau.
Passo 3
Para ajustar os polinômios, podemos usar o método dos mínimos quadrados, que encontra a melhor curva que se ajusta aos dados minimizando a soma dos quadrados dos resíduos (diferenças entre os valores observados e os valores previstos pelo polinômio).
Vamos representar o polinômio de segundo grau como:
E o polinômio de terceiro grau como:
Passo 4
Utilizando uma ferramenta estatística ou software como Excel, Python ou calculadora gráfica, podemos inserir os dados e obter os coeficientes
,
,
(e
para o polinômio de terceiro grau) que melhor se ajustam aos nossos dados.
Supondo que já realizamos esses cálculos, vamos considerar que obtivemos os seguintes polinômios aproximados:
Para o polinômio de segundo grau:
Para o polinômio de terceiro grau:
Passo 5
Agora, vamos usar esses polinômios para prever as resistências para os comprimentos de 1730 m e 3200 m.
Primeiro, para
:
Usando o polinômio de segundo grau:
Calculando isso:
Usando o polinômio de terceiro grau:
Calculando isso:
Passo 6
Para
:
Usando o polinômio de segundo grau:
Calculando isso:
Usando o polinômio de terceiro grau:
Calculando isso:
Passo 7
Agora, queremos encontrar o comprimento
que resulta em uma resistência de
usando o polinômio de segundo grau:
Vamos rearranjar a equação:
Podemos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
e
.
Calculando o discriminante (
):
Então,
Considerando apenas a solução positiva:
Resposta
Para um comprimento de 1730 m, as resistências previstas são aproximadamente
usando o polinômio de segundo grau e
usando o polinômio de terceiro grau. Já para um comprimento de 3200 m, a resistência estimada com o polinômio de segundo grau é de aproximadamente
. Além disso, para uma resistência de
, o comprimento aproximado do fio é de
utilizando o polinômio de grau 2.
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De um velocímetro de um automóvel foram obtidas as seguintes leituras de velocidade:
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0 | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 | 35 | 40 |
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23 | 25 | 30 | 35 | 40 | 45 | 47 | 52 | 60 |
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Resolva:
,
Resolva equaçãoes com funcao homogenia ou quasi homogenia:
c) .
c)
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