Uma colônia de bactérias cresce a uma razão (taxa de variação) proporcional ao número de bactérias presente. Se o número duplica a cada 24 horas, quantas horas serão necessárias para que o número de bactérias aumente cem vezes sua quantidade original?

Passo 1

Vamos entender o problema: estamos falando do crescimento de uma colônia de bactérias onde a taxa de variação (ou razão de crescimento) é proporcional ao número de bactérias presentes. Isso envolve conceitos de crescimento exponencial. Sabemos que a colônia duplica a cada 24 horas e queremos descobrir quanto tempo leva para o número de bactérias aumentar cem vezes a quantidade original.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que quando a taxa de crescimento é proporcional ao número de indivíduos, estamos lidando com uma equação diferencial de crescimento exponencial. A fórmula geral para esse tipo de crescimento é:
Onde:
  • é o número de bactérias no tempo ,
  • é o número inicial de bactérias,
  • é a constante de crescimento,
  • é o tempo.
Sabemos que a população duplica a cada 24 horas, ou seja:
Substituindo na fórmula:
Dividindo ambos os lados por :
Para encontrar , aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:
Então,
Agora, queremos que o número de bactérias aumente cem vezes, ou seja, . Usando a fórmula do crescimento:
Dividindo ambos os lados por :
Aplicando o logaritmo natural:
Substituindo por :
Resolvendo para :

Resposta

O tempo necessário para o número de bactérias aumentar cem vezes sua quantidade original é horas.

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