Uma colônia de bactérias cresce a uma razão (taxa de variação) proporcional ao número de bactérias presente. Se o número duplica a cada 24 horas, quantas horas serão necessárias para que o número de bactérias aumente cem vezes sua quantidade original?
Passo 1
Vamos entender o problema: estamos falando do crescimento de uma colônia de bactérias onde a taxa de variação (ou razão de crescimento) é proporcional ao número de bactérias presentes. Isso envolve conceitos de crescimento exponencial. Sabemos que a colônia duplica a cada 24 horas e queremos descobrir quanto tempo leva para o número de bactérias aumentar cem vezes a quantidade original.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que quando a taxa de crescimento é proporcional ao número de indivíduos, estamos lidando com uma equação diferencial de crescimento exponencial. A fórmula geral para esse tipo de crescimento é:
Onde:
-
é o número de bactérias no tempo , -
é o número inicial de bactérias, -
é a constante de crescimento, -
é o tempo.
Sabemos que a população duplica a cada 24 horas, ou seja:
Substituindo na fórmula:
Dividindo ambos os lados por
:
Para encontrar
, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:
Então,
Agora, queremos que o número de bactérias aumente cem vezes, ou seja,
. Usando a fórmula do crescimento:
Dividindo ambos os lados por
:
Aplicando o logaritmo natural:
Substituindo
por
:
Resolvendo para
:
Resposta
O tempo necessário para o número de bactérias aumentar cem vezes sua quantidade original é
horas.
Exercícios relacionados
Faça a redução de ordem para resolver as seguintes equações diferenciais de segunda ordem:
Faça a redução de ordem para resolver as seguintes equações diferenciais de segunda ordem:
Mostre que a solução
do seguinte P.V.I tem uma única solução:
Mostre que a solução
do P.V.I
existe e é única. Exiba a solução exata que satisfaz o PVI.