Faça a redução de ordem para resolver as seguintes equações diferenciais de segunda ordem:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial de segunda ordem que é:
A matéria que vamos usar aqui é a de equações diferenciais lineares de segunda ordem, especificamente o método de redução de ordem. Para isso, precisamos entender soluções da equação homogênea associada e encontrar uma solução particular para a equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, assumimos uma solução da forma
.
Passo 3
Substituindo
na equação homogênea:
Como
, temos que
. Resolvendo a equação característica:
Passo 4
Então, as soluções da equação homogênea são:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar uma solução particular (
) para a equação completa:
Observamos que o lado direito é a soma de três termos: uma constante, um polinômio de segundo grau e uma exponencial.
Passo 6
Vamos encontrar a solução particular para cada termo separadamente e depois somá-las.
-
Para o termo constante (1):
Assumimos, onde é uma constante. Derivando:Substituindo na equação:Isso não faz sentido, então precisamos ajustar nossa suposição. Como uma constante está na solução homogênea, multiplicamos por: Derivando:Substituindo na equação:Então, -
Para o termo
:
Assumimos. Derivando:Substituindo na equação:Igualando os coeficientes:Houve um erro aqui na nossa suposição inicial. Precisamos considerar que a solução particular precisa lidar com o termo, então ajustamos nossa suposição para incluir termos até : Replicando os cálculos:Portanto, a solução particular para este termo é: -
Para o termo
:
Observamos quejá está presente na solução homogênea, então precisamos multiplicar por para obter uma solução particular: Derivando:Substituindo na equação:Então:Portanto, a solução particular para este termo é:
Passo 7
Agora, somamos todas as soluções particulares encontradas:
Passo 8
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.