Mostre que a solução
do P.V.I
existe e é única. Exiba a solução exata que satisfaz o PVI.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me deu um problema que envolve resolver uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) com uma condição inicial. A matéria aqui é Equações Diferenciais, especificamente sobre a existência e unicidade da solução para um problema de valor inicial (P.V.I). Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre teoremas que garantem a existência e unicidade das soluções e, claro, saber resolver a equação diferencial em si.
Passo 2
Primeiro, precisamos mostrar que existe uma solução única para o P.V.I que você forneceu. Para isso, usamos o Teorema de Picard-Lindelöf, que basicamente nos diz que se a função que está na equação diferencial for contínua e satisfizer uma condição chamada Lipschitz em torno do ponto inicial, então existe uma única solução que passa por esse ponto.
Passo 3
Vamos aplicar o Teorema de Picard-Lindelöf ao nosso problema. A equação diferencial dada é:
Aqui, a função
é contínua porque é uma combinação de funções contínuas (multiplicação e soma). Além disso, ela é linear em
, o que garante que ela satisfaça a condição de Lipschitz em
. Portanto, pelo Teorema de Picard-Lindelöf, existe uma solução única que passa pelo ponto inicial
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a solução exata dessa equação diferencial. A equação é linear e pode ser escrita como:
Podemos rearranjar para:
Para resolver isso, vamos usar um fator integrante. Calculamos o fator integrante
como:
Multiplicamos toda a equação por
:
Isso simplifica para:
Integrando ambos os lados:
A integral do lado direito simplifica para
, então:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 5
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar o valor de
:
Portanto, a solução simplifica para:
Resposta
A solução exata que satisfaz o P.V.I é
.