Mostre que a solução y(t) do P.V.I y' = t(1+y), y(0) = -1 existe e é única. Exiba a solução exata que satisfaz o PVI.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me deu um problema que envolve resolver uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) com uma condição inicial. A matéria aqui é Equações Diferenciais, especificamente sobre a existência e unicidade da solução para um problema de valor inicial (P.V.I). Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre teoremas que garantem a existência e unicidade das soluções e, claro, saber resolver a equação diferencial em si.

Passo 2

Primeiro, precisamos mostrar que existe uma solução única para o P.V.I que você forneceu. Para isso, usamos o Teorema de Picard-Lindelöf, que basicamente nos diz que se a função que está na equação diferencial for contínua e satisfizer uma condição chamada Lipschitz em torno do ponto inicial, então existe uma única solução que passa por esse ponto.

Passo 3

Vamos aplicar o Teorema de Picard-Lindelöf ao nosso problema. A equação diferencial dada é:
Aqui, a função é contínua porque é uma combinação de funções contínuas (multiplicação e soma). Além disso, ela é linear em , o que garante que ela satisfaça a condição de Lipschitz em . Portanto, pelo Teorema de Picard-Lindelöf, existe uma solução única que passa pelo ponto inicial .

Passo 4

Agora, vamos encontrar a solução exata dessa equação diferencial. A equação é linear e pode ser escrita como:
Podemos rearranjar para:
Para resolver isso, vamos usar um fator integrante. Calculamos o fator integrante como:
Multiplicamos toda a equação por :
Isso simplifica para:
Integrando ambos os lados:
A integral do lado direito simplifica para , então:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 5

Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar o valor de :
Portanto, a solução simplifica para:

Resposta

A solução exata que satisfaz o P.V.I é .

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