Mostre que a solução
do seguinte P.V.I tem uma única solução:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de Equação Diferencial Ordinária (EDO) com uma condição inicial. O objetivo é mostrar que existe apenas uma solução para essa EDO específica. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de existência e unicidade de soluções para EDOs, especialmente o Teorema de Picard-Lindelöf.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a EDO e a condição inicial que temos:
Aqui,
é a função que define a EDO.
Passo 3
Para aplicar o Teorema de Picard-Lindelöf, precisamos verificar duas coisas:
-
Continuidade de
: A função é contínua em todas as variáveis e , porque tanto quanto são funções contínuas. -
Condição de Lipschitz em
: Verificamos a derivada parcial de em relação a :
Essa derivada é contínua em
, o que significa que
satisfaz a condição de Lipschitz em
em qualquer domínio onde
está definido.
Passo 4
Como
é contínua e satisfaz a condição de Lipschitz em
, o Teorema de Picard-Lindelöf garante que existe uma única solução para a EDO dado a condição inicial
em algum intervalo ao redor de
.
Resposta
A solução
do P.V.I dado existe e é única.