Mostre que a solução y(t) do seguinte P.V.I tem uma única solução: y' = y^2 + cos^2(t) ; y(0) = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de Equação Diferencial Ordinária (EDO) com uma condição inicial. O objetivo é mostrar que existe apenas uma solução para essa EDO específica. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de existência e unicidade de soluções para EDOs, especialmente o Teorema de Picard-Lindelöf.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a EDO e a condição inicial que temos:
Aqui, é a função que define a EDO.

Passo 3

Para aplicar o Teorema de Picard-Lindelöf, precisamos verificar duas coisas:
  1. Continuidade de : A função é contínua em todas as variáveis e , porque tanto quanto são funções contínuas.
  2. Condição de Lipschitz em : Verificamos a derivada parcial de em relação a :
Essa derivada é contínua em , o que significa que satisfaz a condição de Lipschitz em em qualquer domínio onde está definido.

Passo 4

Como é contínua e satisfaz a condição de Lipschitz em , o Teorema de Picard-Lindelöf garante que existe uma única solução para a EDO dado a condição inicial em algum intervalo ao redor de .

Resposta

A solução do P.V.I dado existe e é única.

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