Faça a redução de ordem para resolver as seguintes equações diferenciais de segunda ordem:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para fazer a redução de ordem para resolver a equação diferencial de segunda ordem . Isso está relacionado ao conteúdo de Equações Diferenciais, especificamente técnicas para resolver equações de segunda ordem. Precisaremos entender como reduzir a ordem da equação usando substituições e manipulações matemáticas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma equação diferencial de segunda ordem pode ser simplificada reduzindo sua ordem. Para isso, vamos fazer uma substituição comum: , onde é a derivada de em relação a . Assim, a segunda derivada pode ser expressa como .

Passo 3

Com essa substituição, nossa equação original fica:
Agora, vamos isolar :

Passo 4

Para reduzir a ordem, percebemos que . Mas queremos expressar isso em termos de . Sabemos que , então podemos usar a regra da cadeia:
Substituindo na equação:

Passo 5

Agora, podemos dividir ambos os lados por (desde que ):
Essa é uma equação separável, ou seja, podemos separar as variáveis e .

Passo 6

Vamos separar as variáveis:
Agora, integramos ambos os lados:

Passo 7

Calculando as integrais:
Onde é a constante de integração.

Passo 8

Podemos multiplicar os dois lados por para simplificar:
E então, isolando :

Passo 9

Lembrando que , temos:
Para encontrar , precisaríamos integrar essa equação, mas conforme solicitado, nossa redução de ordem está completa.

Resposta

A redução de ordem da equação diferencial resulta em:
onde é a constante de integração.

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