Faça a redução de ordem para resolver as seguintes equações diferenciais de segunda ordem:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para fazer a redução de ordem para resolver a equação diferencial de segunda ordem
. Isso está relacionado ao conteúdo de Equações Diferenciais, especificamente técnicas para resolver equações de segunda ordem. Precisaremos entender como reduzir a ordem da equação usando substituições e manipulações matemáticas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma equação diferencial de segunda ordem pode ser simplificada reduzindo sua ordem. Para isso, vamos fazer uma substituição comum:
, onde
é a derivada de
em relação a
. Assim, a segunda derivada
pode ser expressa como
.
Passo 3
Com essa substituição, nossa equação original
fica:
Agora, vamos isolar
:
Passo 4
Para reduzir a ordem, percebemos que
. Mas queremos expressar isso em termos de
. Sabemos que
, então podemos usar a regra da cadeia:
Substituindo na equação:
Passo 5
Agora, podemos dividir ambos os lados por
(desde que
):
Essa é uma equação separável, ou seja, podemos separar as variáveis
e
.
Passo 6
Vamos separar as variáveis:
Agora, integramos ambos os lados:
Passo 7
Calculando as integrais:
Onde
é a constante de integração.
Passo 8
Podemos multiplicar os dois lados por
para simplificar:
E então, isolando
:
Passo 9
Lembrando que
, temos:
Para encontrar
, precisaríamos integrar essa equação, mas conforme solicitado, nossa redução de ordem está completa.
Resposta
A redução de ordem da equação diferencial
resulta em:
onde
é a constante de integração.
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do seguinte P.V.I tem uma única solução: