A colonização da lua exige uma compreensão aprimorada do escoamento de fluidos quando são submetidos sob forças gravitacionais reduzidas. A força gravitacional na lua é um quinto daquela na superfície da Terra. Um engenheiro está projetando um experimento na lua que modela o escoamento interno em um conduto. Os parâmetros adimensionais que definem o problema são o número de Froude e o número de Reynolds. Considere que o modelo a ser testado na lua será em escala real. A viscosidade cinemática do fluido a ser usado na lua é nu=2.0 times 10^-5 m^2 / s. Determine qual deve ser a viscosidade cinemática do fluido caso o modelo fosse testado na Terra?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Estamos falando sobre como os fluidos se comportam na Lua, onde a gravidade é menor que na Terra. A força gravitacional na Lua é um quinto da força na Terra. O engenheiro quer testar como o fluido flui dentro de um tubo na Lua usando algo chamado viscosidade cinemática, que é basicamente quão “grosso” ou “fino” é o fluido. A gente vai usar os números de Froude e Reynolds, que são parâmetros importantes na mecânica dos fluidos para comparar diferentes situações de fluxo. O que precisamos descobrir é qual a viscosidade cinemática que devemos usar na Terra para que o experimento seja equivalente ao da Lua.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são esses números de Froude e Reynolds. O número de Reynolds (Re) indica se o fluxo será laminar ou turbulento e é dado por:
Re = V cdot Lnu
Onde:
  • $ V $ é a velocidade do fluido,
  • $ L $ é uma dimensão característica (como o diâmetro do tubo),
  • $ \nu $ é a viscosidade cinemática.
O número de Froude (Fr) relaciona a velocidade do fluido com a gravidade e é dado por:
V
Onde $ g $ é a aceleração da gravidade.

Passo 3

A ideia aqui é manter esses números (Re e Fr) iguais tanto na Lua quanto na Terra para que os fluxos sejam “similares”. Ou seja, queremos que o comportamento do fluido na Terra seja análogo ao da Lua.

Passo 4

Vamos começar igualando os números de Reynolds na Lua e na Terra:
Relua = Reterra
Vlua cdot Lnulua = Vterra cdot Lnuterra
Como o modelo é em escala real ($ L $ é o mesmo), podemos simplificar:
L

Passo 5

Agora, igualando os números de Froude:
Frlua = Frterra
Vluaraizglua cdot L = Vterraraizgterra cdot L
Assim como antes, $ L $ é o mesmo e podemos simplificar:
L

Passo 6

Sabemos que a gravidade na Lua é um quinto da gravidade na Terra:
glua = gterra5
Substituindo isso na equação dos números de Froude:
Vluaraizgterra5 = Vterraraizgterra
Simplificando:
Vlua cdot raiz5 = Vterra

Passo 7

Agora, vamos voltar à equação dos números de Reynolds:
Vluanulua = Vterranuterra
Substituindo $ V_{terra} = V_{lua} \cdot \sqrt{5} $:
Vterra = Vlua cdot raiz5
Cancelando $ V_{lua} $:
Vluanulua = Vlua cdot raiz5nuterra

Passo 8

Resolvendo para $ \nu_{terra} $:
nuterra
Sabemos que $ \nu_{lua} = 2.0 \times 10^{-5} , m^2/s $, então:
nuterra = nulua cdot raiz5

Resposta

A viscosidade cinemática do fluido para ser testado na Terra deve ser aproximadamente $ 4.47 \times 10^{-5} , m^2/s $.

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