Um tipo de prato, raso e circular, tem um orifício de bordas vivas no centro. Um jato de água, de velocidade V, atinge o prato concentricamente. Obtenha uma expressão para a força externa necessária para manter o prato no lugar, se o jato que sai pelo orifício também tem velocidade V. Avalie a força para V=5 m / s, D=100 mm e d=25 mm. Trace um gráfico da força requerida em função do ângulo theta(0 <= theta <= 90^circ), com a razão de diâmetros como parâmetro, para uma faixa adequada do diâmetro d.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um prato raso e circular com um orifício no centro. Um jato de água com velocidade $ V $ atinge o prato exatamente no meio. Nosso objetivo é encontrar a força externa que precisa ser aplicada para manter o prato parado, considerando que a água que sai pelo orifício também tem velocidade $ V $.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de dínâmica dos fluidos, especialmente relacionados à quantidade de movimento e forças em sistemas fluídicos. Precisaremos entender como a mudança de quantidade de movimento da água gera uma força que age sobre o prato.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar na quantidade de movimento da água que atinge o prato. A quantidade de movimento ($ p $) é dada por:
p
onde $ m $ é a massa e $ v $ é a velocidade da água.

Passo 3

A água que atinge o prato tem uma velocidade $ V $ e escoa pelo orifício central também com velocidade $ V $. Para encontrar a massa de água que passa pelo orifício por unidade de tempo, usamos a fórmula da vazão volumétrica:
V
onde $ A $ é a área do orifício. A área de um círculo é dada por:
V
com $ d $ sendo o diâmetro do orifício.

Passo 4

A massa de água que passa pelo orifício por segundo ($ \dot{m} $) é:
dotm
onde $ \rho $ é a densidade da água (aproximadamente $ 1000 , kg/m^3 $).

Passo 5

A força necessária para manter o prato no lugar é igual à taxa de variação da quantidade de movimento da água. Ou seja:
F = dotm cdot V = rho cdot pi d^24 cdot V^2

Passo 6

Agora, vamos substituir os valores numéricos fornecidos:
  • $ V = 5 , m/s $
  • $ D = 100 , mm = 0,1 , m $ (diâmetro do prato)
  • $ d = 25 , mm = 0,025 , m $ (diâmetro do orifício)
  • $ \rho = 1000 , kg/m^3 $
Substituindo na fórmula:
V = 5 , m/s

Passo 7

Vamos calcular passo a passo:
  1. Calculando $ (0,025)^2 = 0,000625 $
  2. Multiplicando por $ \pi $: $ \pi \cdot 0,000625 \approx 0,0019635 $
  3. Dividindo por 4: $ \frac{0,0019635}{4} \approx 0,0004909 $
  4. Multiplicando por $ 1000 $: $ 1000 \cdot 0,0004909 = 0,4909 $
  5. Multiplicando por $ 5^2 = 25 $: $ 0,4909 \cdot 25 \approx 12,2725 , N $

Resposta

A força externa necessária para manter o prato no lugar é aproximadamente $ 12,27 , N $.

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