Coloque a equação de C na forma matricial e determine (analisando a matriz 2 times 2 associada) se C é uma parábola, hipérbole ou elipse. Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para colocar a equação da curva C na forma matricial e, analisando a matriz 2 times 2 associada, determinar se C é uma parábola, hipérbole ou elipse. Para resolver isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre formas matriciais de equações quadráticas e como elas se relacionam com os tipos de curvas cônicas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma equação geral de segunda ordem (ou equação quadrática) no plano pode ser escrita como:
Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0
Para transformar essa equação na forma matricial, usamos matrizes para representar os coeficientes das variáveis. A forma matricial fica assim:
x & y & 1 A & B2 & D2 B2 & C & E2 D2 & E2 & F x y 1 = 0
Aqui, a matriz central é a matriz dos coeficientes da equação quadrática.

Passo 3

Agora, vamos focar na parte da matriz que é especialmente importante para determinar o tipo da curva: a matriz 2 times 2 formada pelos coeficientes de x^2, xy e y^2. Essa matriz é:
M = A & B2 B2 & C
A natureza da curva C (parábola, elipse ou hipérbole) pode ser determinada analisando o determinante dessa matriz, que é calculado assim:
det(M) = AC - (B2)^2 = AC - B^24

Passo 4

Vamos lembrar os critérios para identificar a curva:
  • Elipse: Se det(M) > 0 e A neq C.
  • Hipérbole: Se det(M) < 0.
  • Parábola: Se det(M) = 0.
Esses critérios vêm da análise do discriminante da equação quadrática e ajudam a classificar a curva com base nos coeficientes.

Passo 5

Então, resumindo o que fizemos:
  1. Transformamos a equação geral em forma matricial.
  2. Isolamos a matriz 2 times 2 dos coeficientes principais.
  3. Calculamos o determinante dessa matriz.
  4. Usamos o valor do determinante para identificar o tipo da curva.

Resposta

Portanto, ao analisar a matriz 2 times 2 associada à equação de C, calculamos o determinante det(M) = AC - B^24. Dependendo do valor de det(M):
  • Se det(M) > 0, C �� uma elipse.
  • Se det(M) < 0, C é uma hipérbole.
  • Se det(M) = 0, C é uma parábola.
Assim, identificamos o tipo da curva C com base no determinante da matriz associada.

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