Seja T=(x, x, x) in R^3 mid x in R. A união S cup T é um subespaço de R^3 ? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem um conjunto , que basicamente são todos os vetores em onde as três coordenadas são iguais. A pergunta é: será que a união de dois conjuntos, , forma um subespaço de ? Para resolver isso, vamos precisar saber o que é um subespaço vetorial e como funciona a união de conjuntos nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço vetorial. Um conjunto em é chamado de subespaço vetorial se ele satisfaz três condições:
  1. Contém o vetor zero: deve estar em .
  2. É fechado sob adição: Se e estão em , então também está em .
  3. É fechado sob multiplicação por escalar: Se está em e é um número real, então está em .
Então, para verificar se é um subespaço, precisamos ver se ele satisfaz essas três condições.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre união de conjuntos. A união de dois conjuntos e , denotada por , é o conjunto que contém todos os elementos que estão em , em , ou em ambos. No contexto de subespaços, é importante saber que a união de dois subespaços nem sempre é um subespaço. Na verdade, a união de dois subespaços e será um subespaço apenas se um dos conjuntos estiver completamente contido no outro, ou seja, se ou .

Passo 4

Vamos aplicar isso à nossa questão. Sabemos que é um subespaço de . Mas precisamos saber o que é . Como a questão não especifica , vamos assumir que é outro subespaço de . Para a união ser um subespaço, uma das condições que mencionamos anteriormente precisa ser verdadeira: ou ou .

Passo 5

Vamos imaginar que e não estão contidos um no outro. Nesse caso, existem vetores em que não estão em e vice-versa. Vamos pegar dois vetores, um em e outro em , e somá-los. A soma desses vetores nem sempre estará em , a menos que um dos vetores seja o zero (que está em ambos os conjuntos). Isso viola a condição de fechamento sob adição para ser um subespaço.

Passo 6

Mesmo que consideremos a condição de conter o vetor zero, já vimos que a condição de fechamento sob adição não é satisfeita a menos que um conjunto esteja contido no outro. Portanto, na maioria dos casos, a união não será um subespaço de .

Resposta

Não, a união não é um subespaço de , a menos que um dos conjuntos esteja totalmente contido no outro. Geralmente, a união de dois subespaços não satisfaz as condições necessárias para ser um subespaço, especificamente o fechamento sob adição.

Exercícios relacionados