Seja
. A união
é um subespaço de
? Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem um conjunto
, que basicamente são todos os vetores em
onde as três coordenadas são iguais. A pergunta é: será que a união de dois conjuntos,
, forma um subespaço de
? Para resolver isso, vamos precisar saber o que é um subespaço vetorial e como funciona a união de conjuntos nesse contexto.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço vetorial. Um conjunto
em
é chamado de subespaço vetorial se ele satisfaz três condições:
- Contém o vetor zero:
deve estar em . - É fechado sob adição: Se
e estão em , então também está em . - É fechado sob multiplicação por escalar: Se
está em e é um número real, então está em .
Então, para verificar se
é um subespaço, precisamos ver se ele satisfaz essas três condições.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre união de conjuntos. A união de dois conjuntos
e
, denotada por
, é o conjunto que contém todos os elementos que estão em
, em
, ou em ambos. No contexto de subespaços, é importante saber que a união de dois subespaços nem sempre é um subespaço. Na verdade, a união de dois subespaços
e
será um subespaço apenas se um dos conjuntos estiver completamente contido no outro, ou seja, se
ou
.
Passo 4
Vamos aplicar isso à nossa questão. Sabemos que
é um subespaço de
. Mas precisamos saber o que é
. Como a questão não especifica
, vamos assumir que
é outro subespaço de
. Para a união
ser um subespaço, uma das condições que mencionamos anteriormente precisa ser verdadeira: ou
ou
.
Passo 5
Vamos imaginar que
e
não estão contidos um no outro. Nesse caso, existem vetores em
que não estão em
e vice-versa. Vamos pegar dois vetores, um em
e outro em
, e somá-los. A soma desses vetores nem sempre estará em
, a menos que um dos vetores seja o zero (que está em ambos os conjuntos). Isso viola a condição de fechamento sob adição para ser um subespaço.
Passo 6
Mesmo que consideremos a condição de conter o vetor zero, já vimos que a condição de fechamento sob adição não é satisfeita a menos que um conjunto esteja contido no outro. Portanto, na maioria dos casos, a união
não será um subespaço de
.
Resposta
Não, a união
não é um subespaço de
, a menos que um dos conjuntos esteja totalmente contido no outro. Geralmente, a união de dois subespaços não satisfaz as condições necessárias para ser um subespaço, especificamente o fechamento sob adição.