Escreva os vetores v como combinação linear dos vetores v1, v2 e v3 dados a seguir:
  • v=(2,-5,3) de R^3 ; onde v1=(1,-2,3) ; v2=(2,-4,-1) ; v3=(1,-5,7).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para escrever o vetor a cdot v1 + b cdot v2 + c cdot v3 = v como uma combinação linear dos vetores , e . Isso significa que precisamos encontrar coeficientes , e tais que:
Para resolver isso, vamos montar um sistema de equações baseado nas componentes dos vetores.

Passo 2

Vamos escrever a combinação linear componente por componente:
a(1) + b(2) + c(1) = 2 (componente x)
a(-2) + b(-4) + c(-5) = -5 (componente y)
a(3) + b(-1) + c(7) = 3 (componente z)
Agora temos um sistema de três equações com três incógnitas:
a + 2b + c = 2 -2a - 4b - 5c = -5 3a - b + 7c = 3

Passo 3

Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiro, vamos tentar simplificar as equações.
Primeira Equação:
a + 2b + c = 2 (1)
Segunda Equação:
-2a - 4b - 5c = -5 (2)
Terceira Equação:
3a - b + 7c = 3 (3)
Vamos começar isolando a = 2 - 2b - c na equação (1):
-2(2 - 2b - c) - 4b - 5c = -5
Agora, substituímos -4 + 4b + 2c - 4b - 5c = -5 nas equações (2) e (3):
Substituindo na Equação (2):
-4 - 3c = -5
-3c = -1 implies c = 13
3(2 - 2b - c) - b + 7c = 3
6 - 6b - 3c - b + 7c = 3
Substituindo na Equação (3):
6 - 7b + 4c = 3
6 - 7b + 4(13) = 3
6 - 7b + 43 = 3
Substituindo 18 - 21b + 4 = 9 :
22 - 21b = 9
-21b = -13 implies b = 1321
Multiplicando tudo por 3 para eliminar as frações:
a = 2 - 2(1321) - 13
a = 2 - 2621 - 721
a = 4221 - 2621 - 721 = 921 = 37
Agora, substituímos e na expressão de :

Resposta

Portanto, os coeficientes encontrados são v = 37 cdot v1 + 1321 cdot v2 + 13 cdot v3 , e . Assim, podemos escrever:

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