Escreva os vetores como combinação linear dos vetores e dados a seguir:
de ; onde .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um vetor no espaço dos polinômios . Queremos escrever esse vetor como uma combinação linear dos vetores , e . Para isso, vamos precisar resolver um sistema de equações para encontrar os coeficientes que multiplicam cada vetor.
Passo 2
Uma combinação linear significa que queremos encontrar números , e tais que:
Substituindo os vetores dados:
Passo 3
Vamos expandir a expressão do lado direito:
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
Passo 4
Para que as duas expressões sejam iguais para todo , os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Passo 5
Vamos resolver o sistema passo a passo. Primeiro, da terceira equação:
-3a + c = -3 implies c = 3a - 3
Agora, substituímos 4a - 3b + (3a - 3) = 4 implies 7a - 3b = 7 na segunda equação:
Passo 6
Temos agora duas equações com duas incógnitas:
a + 2b = 1 7a - 3b = 7
Podemos resolver multiplicando a primeira equação por 3: