Escreva os vetores v como combinação linear dos vetores v1, v2 e v3 dados a seguir:
  • v=t^2+4 t-3 de P3(t); onde v1=t^2+4 t-3 ; v2=2 t^2-3 t ; v3=t+1.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um vetor no espaço dos polinômios . Queremos escrever esse vetor como uma combinação linear dos vetores , e . Para isso, vamos precisar resolver um sistema de equações para encontrar os coeficientes que multiplicam cada vetor.

Passo 2

Uma combinação linear significa que queremos encontrar números v = a cdot v1 + b cdot v2 + c cdot v3 , t^2 + 4t - 3 = a(t^2 + 4t - 3) + b(2t^2 - 3t) + c(t + 1) e tais que:
Substituindo os vetores dados:

Passo 3

Vamos expandir a expressão do lado direito:
t^2 + 4t - 3 = a t^2 + 4a t - 3a + 2b t^2 - 3b t + c t + c
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
t^2 + 4t - 3 = (a + 2b) t^2 + (4a - 3b + c) t + (-3a + c)

Passo 4

Para que as duas expressões sejam iguais para todo a + 2b = 1 4a - 3b + c = 4 -3a + c = -3 , os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Isso nos dá o seguinte sistema de equações:

Passo 5

Vamos resolver o sistema passo a passo. Primeiro, da terceira equação:
-3a + c = -3 implies c = 3a - 3
Agora, substituímos 4a - 3b + (3a - 3) = 4 implies 7a - 3b = 7 na segunda equação:

Passo 6

Temos agora duas equações com duas incógnitas:
a + 2b = 1 7a - 3b = 7
Podemos resolver multiplicando a primeira equação por 3:
3a + 6b = 3
E somando com a segunda equação:
(3a + 6b) + (7a - 3b) = 3 + 7 implies 10a + 3b = 10

Passo 7

Agora, temos:
10a + 3b = 10
E da primeira equação:
a + 2b = 1 implies a = 1 - 2b
Substituindo 10(1 - 2b) + 3b = 10 implies 10 - 20b + 3b = 10 implies -17b = 0 implies b = 0 na equação:

Passo 8

Com a = 1 - 2(0) = 1 , encontramos c = 3(1) - 3 = 0 :
E usando a equação :

Resposta

Portanto, os coeficientes são v = 1 cdot v1 + 0 cdot v2 + 0 cdot v3 , e . Assim, o vetor pode ser escrito como:

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