Coloque a equação na forma padrão, classifique a superfície e esboce-a.
18.
18.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para colocar a equação
na forma padrão, classificar a superfície que ela representa e esboçá-la considerando a condição
. Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica sobre superfícies no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, observamos que a equação já está na forma padrão de uma esfera. A forma geral da equação de uma esfera é:
onde
é o centro e
é o raio da esfera.
Passo 3
Comparando com a equação dada
, vemos que:
- O centro da esfera é
. - O raio da esfera é
.
Passo 4
Agora, vamos considerar a condição
. Isso significa que estamos interessados apenas na metade inferior da esfera, onde a coordenada
é menor ou igual a zero.
Passo 5
Para esboçar a superfície, desenhamos uma esfera com raio 1 centrada na origem. Em seguida, destacamos somente a parte da esfera onde
é negativo ou igual a zero, ou seja, a metade de baixo da esfera.
Resposta
A equação
já está na forma padrão de uma esfera com centro na origem
e raio 1. A condição
restringe a superfície à metade inferior da esfera.
Exercícios relacionados
Seja
a região do plano limitado pelas curvas
e
.
Esboce e calcule a sua área.
Esboce
Determine o volume do sólido obtido pela rotação da região compreendida entre o(s) gráfico(s) de:
(12.4) e
, ao redor da reta
(12.4)
Determinar o domínio das seguintes funções:
(a)
(a)
1
Função de produção Cobb Douglas
Em 1928, Charles Cobb e Paul Douglas publicaram um estudo no qual modelavam o crescimento da economia norte-americana durante o período de 1899 a 1922. Eles consideraram uma visão simplificada na qual a produção é determinada pela quantidade de trabalho e pela quantidade de capital investido. Apesar de existirem muitos outros fatores afetando o desempenho da economia, o modelo mostrou-se bastante preciso. A função de produção genérica utilizada para modelar a produção era da forma
Função de produção Cobb Douglas
Em 1928, Charles Cobb e Paul Douglas publicaram um estudo no qual modelavam o crescimento da economia norte-americana durante o período de 1899 a 1922. Eles consideraram uma visão simplificada na qual a produção é determinada pela quantidade de trabalho e pela quantidade de capital investido. Apesar de existirem muitos outros fatores afetando o desempenho da economia, o modelo mostrou-se bastante preciso. A função de produção genérica utilizada para modelar a produção era da forma
onde P é a produção total (valor monetário dos bens produzidos no ano); L, a quantidade de trabalho (número total de pessoas-hora trabalhadas em um ano); e K, a quantidade de capital investido (valor monetário das máquinas, equipamentos e prédios).
Se e
determine:
(a) O domínio da função.
Se
(a) O domínio da função.