Coloque a equação na forma padrão, classifique a superfície e esboce-a.
18.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para colocar a equação na forma padrão, classificar a superfície que ela representa e esboçá-la considerando a condição . Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica sobre superfícies no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, observamos que a equação já está na forma padrão de uma esfera. A forma geral da equação de uma esfera é:
onde é o centro e é o raio da esfera.

Passo 3

Comparando com a equação dada , vemos que:
  • O centro da esfera é .
  • O raio da esfera é .

Passo 4

Agora, vamos considerar a condição . Isso significa que estamos interessados apenas na metade inferior da esfera, onde a coordenada é menor ou igual a zero.

Passo 5

Para esboçar a superfície, desenhamos uma esfera com raio 1 centrada na origem. Em seguida, destacamos somente a parte da esfera onde é negativo ou igual a zero, ou seja, a metade de baixo da esfera.

Resposta

A equação já está na forma padrão de uma esfera com centro na origem e raio 1. A condição restringe a superfície à metade inferior da esfera.

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(12.4) e , ao redor da reta
Determinar o domínio das seguintes funções:
(a)
1
Função de produção Cobb Douglas
Em 1928, Charles Cobb e Paul Douglas publicaram um estudo no qual modelavam o crescimento da economia norte-americana durante o período de 1899 a 1922. Eles consideraram uma visão simplificada na qual a produção é determinada pela quantidade de trabalho e pela quantidade de capital investido. Apesar de existirem muitos outros fatores afetando o desempenho da economia, o modelo mostrou-se bastante preciso. A função de produção genérica utilizada para modelar a produção era da forma
onde P é a produção total (valor monetário dos bens produzidos no ano); L, a quantidade de trabalho (número total de pessoas-hora trabalhadas em um ano); e K, a quantidade de capital investido (valor monetário das máquinas, equipamentos e prédios).
Se e determine:
(a) O domínio da função.