Coloque a equação na forma padrão, classifique a superfície e esboce-a.
Passo 1
Beleza, vamos ver o que o exercício pede! A gente tem a equação
. O objetivo é colocar essa equação na forma padrão, identificar que tipo de superfície ela representa e fazer um esboço dessa superfície. Para isso, vamos precisar usar o método de completar o quadrado, que ajuda a reorganizar a equação para identificar melhor a superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar os termos da equação por variável:
Passo 3
Vamos começar completando o quadrado para as variáveis
e
. Primeiro, para
:
Para completar o quadrado, pegamos o coeficiente de
, que é -4, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Então, reescrevemos:
Passo 4
Agora, para
:
Primeiro, fatoramos o 4:
Completamos o quadrado dentro do parêntese:
Então:
Passo 5
Substituímos as expressões completadas na equação original:
Simplificamos os termos constantes:
Então:
Passo 6
Isolamos os termos com variáveis do lado direito:
Passo 7
Dividimos toda a equação por 4 para simplificar:
Simplificando:
Passo 8
Agora, temos a equação na forma padrão de uma elipse tridimensional, que representa um elipsoide. As variáveis indicam os semi-eixos:
-
: 1 -
: 2 -
: 1
Resposta
Depois de completar os quadrados e reorganizar, a equação padrão é
. A superfície é um elipsoide com centros deslocados para
. O esboço seria uma esfera alongada no eixo
, centrada nesse ponto.
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