Coloque a equação na forma padrão, classifique a superfície e esboce-a.
4 x^2+y^2+4 z^2-4 y-24 z+36=0

Passo 1

Beleza, vamos ver o que o exercício pede! A gente tem a equação . O objetivo é colocar essa equação na forma padrão, identificar que tipo de superfície ela representa e fazer um esboço dessa superfície. Para isso, vamos precisar usar o método de completar o quadrado, que ajuda a reorganizar a equação para identificar melhor a superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os termos da equação por variável:
4x^2 + y^2 - 4y + 4z^2 - 24z + 36 = 0

Passo 3

Vamos começar completando o quadrado para as variáveis y^2 - 4y e (y^2 - 4y + 4) - 4 = (y - 2)^2 - 4. Primeiro, para :
Para completar o quadrado, pegamos o coeficiente de , que é -4, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Então, reescrevemos:

Passo 4

Agora, para 4z^2 - 24z:
4(z^2 - 6z)
Primeiro, fatoramos o 4:
4(z^2 - 6z + 9) - 36 = 4(z - 3)^2 - 36
Completamos o quadrado dentro do parêntese:
Então:

Passo 5

Substituímos as expressões completadas na equação original:
4x^2 + (y - 2)^2 - 4 + 4(z - 3)^2 - 36 + 36 = 0
Simplificamos os termos constantes:
-4 - 36 + 36 = -4
Então:
4x^2 + (y - 2)^2 + 4(z - 3)^2 - 4 = 0

Passo 6

Isolamos os termos com variáveis do lado direito:
4x^2 + (y - 2)^2 + 4(z - 3)^2 = 4

Passo 7

Dividimos toda a equação por 4 para simplificar:
4x^24 + (y - 2)^24 + 4(z - 3)^24 = 44
Simplificando:
x^2 + (y - 2)^24 + (z - 3)^2 = 1

Passo 8

Agora, temos a equação na forma padrão de uma elipse tridimensional, que representa um elipsoide. As variáveis indicam os semi-eixos:
  • : 1
  • : 2
  • : 1

Resposta

Depois de completar os quadrados e reorganizar, a equação padrão é . A superfície é um elipsoide com centros deslocados para . O esboço seria uma esfera alongada no eixo , centrada nesse ponto.

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