Use cortes para esboçar e identificar as superfícies.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação e a tarefa é usar cortes (ou seja, seções) para desenhar e identificar que tipo de superfície essa equação representa. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre superfícies quadráticas e como elas se comportam quando a gente corta em diferentes planos.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece quando cortamos a superfície em planos específicos, como , e . Esses cortes nos dão seções transversais que nos ajudam a visualizar a forma da superfície.
Quando :
Substituindo na equação, temos:
Isso representa duas linhas no plano - : e .
Quando :
Substituindo na equação, fica:
A única solução real para essa equação é e , o que significa que no plano - a superfície toca apenas a origem.
Quando :
Substituindo na equação, obtemos:
Isso representa duas linhas no plano - : e .

Passo 3

Agora que temos essas seções, podemos juntar as peças. Quando cortamos a superfície em , temos duas linhas que se cruzam, formando um “X”. No plano , também temos duas linhas, mas com uma inclinação maior. No corte em , a superfície passa apenas pela origem.
Isso é característico de um cone duplo, que tem duas partes apontando em direções opostas. As linhas que obtemos nos cortes mostram como as duas partes do cone se abrem a partir da origem.

Resposta

A superfície representada pela equação é um cone duplo centrado na origem, com seu eixo de simetria alinhado ao eixo .

Exercícios relacionados

Coloque a equação na forma padrão, classifique a superfície e esboce-a.
Use cortes para esboçar e identificar as superfícies.
Use cortes para esboçar e identificar as superfícies.
Coloque a equação na forma padrão, classifique a superfície e esboce-a.