Use cortes para esboçar e identificar as superfícies.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a equação
e a tarefa é usar cortes (ou seja, seções) para desenhar e identificar que tipo de superfície essa equação representa. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre superfícies quadráticas e como elas se comportam quando a gente corta em diferentes planos.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que acontece quando cortamos a superfície em planos específicos, como
,
e
. Esses cortes nos dão seções transversais que nos ajudam a visualizar a forma da superfície.
Quando
:
Substituindo na equação, temos:
Substituindo
Isso representa duas linhas no plano
-
:
e
.
Quando
:
Substituindo na equação, fica:
Substituindo
A única solução real para essa equação é
e
, o que significa que no plano
-
a superfície toca apenas a origem.
Quando
:
Substituindo na equação, obtemos:
Substituindo
Isso representa duas linhas no plano
-
:
e
.
Passo 3
Agora que temos essas seções, podemos juntar as peças. Quando cortamos a superfície em
, temos duas linhas que se cruzam, formando um “X”. No plano
, também temos duas linhas, mas com uma inclinação maior. No corte em
, a superfície passa apenas pela origem.
Isso é característico de um cone duplo, que tem duas partes apontando em direções opostas. As linhas que obtemos nos cortes mostram como as duas partes do cone se abrem a partir da origem.
Resposta
A superfície representada pela equação
é um cone duplo centrado na origem, com seu eixo de simetria alinhado ao eixo
.
Exercícios relacionados
Coloque a equação na forma padrão, classifique a superfície e esboce-a.
Use cortes para esboçar e identificar as superfícies.
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Coloque a equação na forma padrão, classifique a superfície e esboce-a.