Use cortes para esboçar e identificar as superfícies.
25 x^2+4 y^2+z^2=100

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar cortes para esboçar e identificar a superfície definida pela equação . Isso faz parte da matéria de Geometria Analítica, mais especificamente das superfícies quadráticas. Para resolver, vamos precisar entender como fazer cortes na superfície e interpretar essas seções.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação para facilitar a análise. Dividindo todos os termos por 100, fica:
x^24 + y^225 + z^2100 = 1
Isso nos ajuda a identificar a forma padrão da superfície.

Passo 3

Observando a equação simplificada, percebemos que é a equação de uma elipsoide. A forma geral de uma elipsoide centrada na origem é:
x^2a^2 + y^2b^2 + z^2c^2 = 1
Comparando com a nossa equação, temos:
  • então
  • então
  • então

Passo 4

Agora, vamos fazer cortes na superfície para visualizar melhor. Podemos cortar a elipsoide paralelo aos planos XY, XZ e YZ.
Corte paralelo ao plano XY (constante z):
x^24 + y^225 = 1 - z^2100
Para diferentes valores de z, temos diferentes elipses.
Corte paralelo ao plano XZ (constante y):
x^24 + z^2100 = 1 - y^225
Novamente, elipses para distintos y.
Corte paralelo ao plano YZ (constante x):
y^225 + z^2100 = 1 - x^24
Elipses variadas conforme x muda.

Passo 5

Esses cortes nos mostram que a superfície é simétrica em relação aos três eixos e que as seções transversais são todas elipses. Isso confirma que estamos lidando com uma elipsoide, onde os semi-eixos têm comprimentos diferentes: 2, 5 e 10 unidades nos eixos x, y e z, respectivamente.

Resposta

A superfície definida pela equação é uma elipsoide centrada na origem, com semi-eixos de comprimentos 2 unidades ao longo do eixo x, 5 unidades ao longo do eixo y e 10 unidades ao longo do eixo z.

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