Use cortes para esboçar e identificar as superfícies.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar cortes (ou seções) para esboçar e identificar a superfície representada pela equação . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre superfícies quádricas e como os cortes em diferentes planos nos ajudam a visualizar a forma dessa superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa essa equação. Temos , que relaciona as três coordenadas , e . Essa é uma equação que descreve uma superfície no espaço tridimensional. Para identificar que tipo de superfície é essa, vamos analisar os cortes dela em planos específicos.

Passo 3

Vamos começar fazendo cortes paralelos aos planos principais: , e .
  1. Corte pelo plano :
    Substituindo na equação, temos:
    Essa é a equação de uma parábola no plano .
  2. Corte pelo plano :
    Substituindo na equação, temos:
    Essa também é uma parábola, agora no plano .
  3. Corte pelo plano (constante):
    Tomando , a equação fica:
    Isso é a equação de uma elipse no plano , já que os coeficientes de e são diferentes.

Passo 4

Com esses cortes, percebemos que em cada plano importante temos formas diferentes: parábolas no e , e elipses no . Isso sugere que a superfície é um paraboloide. Além disso, como os cortes em são elipses, este paraboloide é elíptico, e como o termo com está isolado, ele se abre ao longo do eixo .

Resposta

A superfície representada pela equação é um paraboloide elíptico que se abre ao longo do eixo .

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