Use cortes para esboçar e identificar as superfícies.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar cortes (ou seções) para esboçar e identificar a superfície representada pela equação
. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre superfícies quádricas e como os cortes em diferentes planos nos ajudam a visualizar a forma dessa superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa essa equação. Temos
, que relaciona as três coordenadas
,
e
. Essa é uma equação que descreve uma superfície no espaço tridimensional. Para identificar que tipo de superfície é essa, vamos analisar os cortes dela em planos específicos.
Passo 3
Vamos começar fazendo cortes paralelos aos planos principais:
,
e
.
-
Corte pelo plano
:
Substituindona equação, temos: Essa é a equação de uma parábola no plano. -
Corte pelo plano
:
Substituindona equação, temos: Essa também é uma parábola, agora no plano. -
Corte pelo plano
(constante):
Tomando, a equação fica: Isso é a equação de uma elipse no plano, já que os coeficientes de e são diferentes.
Passo 4
Com esses cortes, percebemos que em cada plano importante temos formas diferentes: parábolas no
e
, e elipses no
. Isso sugere que a superfície é um paraboloide. Além disso, como os cortes em
são elipses, este paraboloide é elíptico, e como o termo com
está isolado, ele se abre ao longo do eixo
.
Resposta
A superfície representada pela equação
é um paraboloide elíptico que se abre ao longo do eixo
.
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Use cortes para esboçar e identificar as superfícies.
Coloque a equação na forma padrão, classifique a superfície e esboce-a.
Use cortes para esboçar e identificar as superfícies.