Coloque a equação na forma padrão, classifique a superfície e esboce-a.
x^2-y^2+z^2-4 x-2 y-2 z+4=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para colocarmos a equação na forma padrão, identificar que tipo de superfície ela representa e fazer um esboço dessa superfície.
Para isso, vamos precisar usar o método de completar o quadrado para reorganizar a equação e descobrir de qual superfície estamos falando, seja ela uma elipse, hipérbole, esfera, etc.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação agrupando os termos com as mesmas variáveis:
x^2 - 4x - y^2 - 2y + z^2 - 2z + 4 = 0
Agora, vamos separar cada grupo de variáveis para facilitar o processo de completar o quadrado:
(x^2 - 4x) - (y^2 + 2y) + (z^2 - 2z) + 4 = 0

Passo 3

Vamos completar o quadrado para cada uma das variáveis. Lembrando que completar o quadrado significa reescrever uma expressão quadrática na forma x^2 - 4x = (x^2 - 4x + 4) - 4 = (x - 2)^2 - 4 .
Para o termo com -y^2 - 2y = - (y^2 + 2y + 1) + 1 = - (y + 1)^2 + 1 :
z^2 - 2z = (z^2 - 2z + 1) - 1 = (z - 1)^2 - 1
Para o termo com :
Para o termo com :

Passo 4

Substituindo essas expressões na equação original, temos:
(x - 2)^2 - 4 - (y + 1)^2 + 1 + (z - 1)^2 - 1 + 4 = 0
Agora, vamos simplificar os termos constantes:
-4 + 1 - 1 + 4 = 0
Então, a equação fica:
(x - 2)^2 - (y + 1)^2 + (z - 1)^2 = 0

Passo 5

Vamos agora reorganizar a equação para identificar a superfície:
(x - 2)^2 + (z - 1)^2 = (y + 1)^2
Essa equação se assemelha à equação padrão de um cone, que é:
(x - h)^2 + (z - k)^2 = (y - l)^2
Onde é o vértice do cone.

Passo 6

Comparando com a equação padrão do cone, podemos ver que o vértice está em . Portanto, a superfície representada por essa equação é um cone de revolução com eixo ao longo do eixo .

Passo 7

Para esboçar o cone, imagine um ponto central em . A partir desse ponto, o cone se expande simetricamente ao redor do eixo . Cada seção paralela ao plano será um círculo cujo raio aumenta conforme nos afastamos do vértice.

Resposta

A equação na forma padrão é . A superfície representada é um cone de revolução com vértice em . O esboço dessa superfície é um cone centralizado nesse ponto, expandindo-se simetricamente ao longo do eixo .

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