Coloque a equação na forma padrão, classifique a superfície e esboce-a.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para colocarmos a equação na forma padrão, identificar que tipo de superfície ela representa e fazer um esboço dessa superfície.
Para isso, vamos precisar usar o método de completar o quadrado para reorganizar a equação e descobrir de qual superfície estamos falando, seja ela uma elipse, hipérbole, esfera, etc.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação agrupando os termos com as mesmas variáveis:
Agora, vamos separar cada grupo de variáveis para facilitar o processo de completar o quadrado:

Passo 3

Vamos completar o quadrado para cada uma das variáveis. Lembrando que completar o quadrado significa reescrever uma expressão quadrática na forma .
Para o termo com :
Para o termo com :
Para o termo com :

Passo 4

Substituindo essas expressões na equação original, temos:
Agora, vamos simplificar os termos constantes:
Então, a equação fica:

Passo 5

Vamos agora reorganizar a equação para identificar a superfície:
Essa equação se assemelha à equação padrão de um cone, que é:
Onde é o vértice do cone.

Passo 6

Comparando com a equação padrão do cone, podemos ver que o vértice está em . Portanto, a superfície representada por essa equação é um cone de revolução com eixo ao longo do eixo .

Passo 7

Para esboçar o cone, imagine um ponto central em . A partir desse ponto, o cone se expande simetricamente ao redor do eixo . Cada seção paralela ao plano será um círculo cujo raio aumenta conforme nos afastamos do vértice.

Resposta

A equação na forma padrão é . A superfície representada é um cone de revolução com vértice em . O esboço dessa superfície é um cone centralizado nesse ponto, expandindo-se simetricamente ao longo do eixo .

Exercícios relacionados

Coloque a equação na forma padrão, classifique a superfície e esboce-a.
Coloque a equação na forma padrão, classifique a superfície e esboce-a.
Determine uma equação da superfície constituída de todos os pontos que são equidistantes do ponto e do plano .
Um saco contendo de gelo é aberto e colocado em um recipiente. Para acelerar o derretimento, um pedaço de de cobre a é colocado no recipiente. Sabendo que o gelo estava inicialmente a - , e que não houve trocas de calor com o ambiente, apenas entre o gelo e o cobre, determine
a) (10 pontos) se todo o gelo derrete;