Coloque a equação na forma padrão, classifique a superfície e esboce-a.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para colocarmos a equação
na forma padrão, identificar que tipo de superfície ela representa e fazer um esboço dessa superfície.
Para isso, vamos precisar usar o método de completar o quadrado para reorganizar a equação e descobrir de qual superfície estamos falando, seja ela uma elipse, hipérbole, esfera, etc.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação agrupando os termos com as mesmas variáveis:
Agora, vamos separar cada grupo de variáveis para facilitar o processo de completar o quadrado:
Passo 3
Vamos completar o quadrado para cada uma das variáveis. Lembrando que completar o quadrado significa reescrever uma expressão quadrática na forma
.
Para o termo com
:
Para o termo com
:
Para o termo com
:
Passo 4
Substituindo essas expressões na equação original, temos:
Agora, vamos simplificar os termos constantes:
Então, a equação fica:
Passo 5
Vamos agora reorganizar a equação para identificar a superfície:
Essa equação se assemelha à equação padrão de um cone, que é:
Onde
é o vértice do cone.
Passo 6
Comparando com a equação padrão do cone, podemos ver que o vértice está em
. Portanto, a superfície representada por essa equação é um cone de revolução com eixo ao longo do eixo
.
Passo 7
Para esboçar o cone, imagine um ponto central em
. A partir desse ponto, o cone se expande simetricamente ao redor do eixo
. Cada seção paralela ao plano
será um círculo cujo raio aumenta conforme nos afastamos do vértice.
Resposta
A equação na forma padrão é
. A superfície representada é um cone de revolução com vértice em
. O esboço dessa superfície é um cone centralizado nesse ponto, expandindo-se simetricamente ao longo do eixo
.
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Coloque a equação na forma padrão, classifique a superfície e esboce-a.
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Determine uma equação da superfície constituída de todos os pontos que são equidistantes do ponto
e do plano
.
Um saco contendo
de gelo é aberto e colocado em um recipiente. Para acelerar o derretimento, um pedaço de
de cobre a
é colocado no recipiente. Sabendo que o gelo estava inicialmente a -
, e que não houve trocas de calor com o ambiente, apenas entre o gelo e o cobre, determine
a) (10 pontos) se todo o gelo derrete;
a) (10 pontos) se todo o gelo derrete;