Determine uma equação da superfície constituída de todos os pontos que são equidistantes do ponto e do plano .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a equação de uma superfície formada por todos os pontos que estão à mesma distância do ponto e do plano . Isso envolve conceitos de geometria analítica, especificamente distância entre pontos e distância de pontos a planos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como calcular a distância de um ponto qualquer até o ponto dado . A fórmula da distância entre dois pontos no espaço é:
â
Aplicando isso, a distância fica:

Passo 3

Agora, vamos calcular a distância do mesmo ponto até o plano . A fórmula para a distância de um ponto a um plano é:
â
No caso do plano , podemos reescrever como , ou seja, , , , . Então, a distância é:

Passo 4

Como estamos procurando os pontos que estão à mesma distância do ponto e do plano, igualamos as duas expressões de distância:

Passo 5

Para facilitar, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz e o valor absoluto:

Passo 6

Agora, vamos expandir os termos:

Passo 7

Subtraindo e de ambos os lados para simplificar:

Passo 8

Vamos somar em ambos os lados para isolar os termos com e :

Resposta

A equação da superfície é:
Ou, reorganizando para destacar :

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Coloque a equação na forma padrão, classifique a superfície e esboce-a.
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Um saco contendo de gelo é aberto e colocado em um recipiente. Para acelerar o derretimento, um pedaço de de cobre a é colocado no recipiente. Sabendo que o gelo estava inicialmente a - , e que não houve trocas de calor com o ambiente, apenas entre o gelo e o cobre, determine
a) (10 pontos) se todo o gelo derrete;
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b) (10 pontos) caso a resposta da letra anterior for afirmativa, calcule a temperatura final do conjunto. Caso seja negativa, determine qual a massa de gelo que derrete.