Determine uma equação da superfície constituída de todos os pontos que são equidistantes do ponto
e do plano
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a equação de uma superfície formada por todos os pontos que estão à mesma distância do ponto
e do plano
. Isso envolve conceitos de geometria analítica, especificamente distância entre pontos e distância de pontos a planos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como calcular a distância de um ponto qualquer
até o ponto dado
. A fórmula da distância entre dois pontos no espaço é:
Aplicando isso, a distância fica:
Passo 3
Agora, vamos calcular a distância do mesmo ponto
até o plano
. A fórmula para a distância de um ponto
a um plano
é:
No caso do plano
, podemos reescrever como
, ou seja,
,
,
,
. Então, a distância é:
Passo 4
Como estamos procurando os pontos que estão à mesma distância do ponto e do plano, igualamos as duas expressões de distância:
Passo 5
Para facilitar, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz e o valor absoluto:
Passo 6
Agora, vamos expandir os termos:
Passo 7
Subtraindo
e
de ambos os lados para simplificar:
Passo 8
Vamos somar
em ambos os lados para isolar os termos com
e
:
Resposta
A equação da superfície é:
Ou, reorganizando para destacar
:
Exercícios relacionados
Coloque a equação na forma padrão, classifique a superfície e esboce-a.
Coloque a equação na forma padrão, classifique a superfície e esboce-a.
Um saco contendo
de gelo é aberto e colocado em um recipiente. Para acelerar o derretimento, um pedaço de
de cobre a
é colocado no recipiente. Sabendo que o gelo estava inicialmente a -
, e que não houve trocas de calor com o ambiente, apenas entre o gelo e o cobre, determine
a) (10 pontos) se todo o gelo derrete;
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Um saco contendo
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de cobre a
é colocado no recipiente. Sabendo que o gelo estava inicialmente a -
, e que não houve trocas de calor com o ambiente, apenas entre o gelo e o cobre, determine
b) (10 pontos) caso a resposta da letra anterior for afirmativa, calcule a temperatura final do conjunto. Caso seja negativa, determine qual a massa de gelo que derrete.
b) (10 pontos) caso a resposta da letra anterior for afirmativa, calcule a temperatura final do conjunto. Caso seja negativa, determine qual a massa de gelo que derrete.