Determine uma equação da superfície constituída de todos os pontos que são equidistantes do ponto (-1,0,0) e do plano x=1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a equação de uma superfície formada por todos os pontos que estão à mesma distância do ponto (-1,0,0) e do plano x=1. Isso envolve conceitos de geometria analítica, especificamente distância entre pontos e distância de pontos a planos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como calcular a distância de um ponto qualquer (x, y, z) até o ponto dado (-1,0,0). A fórmula da distância entre dois pontos no espaço é:
Distância = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2 â
Aplicando isso, a distância fica:
raiz(x + 1)^2 + y^2 + z^2

Passo 3

Agora, vamos calcular a distância do mesmo ponto (x, y, z) até o plano x=1. A fórmula para a distância de um ponto (x, y, z) a um plano Ax + By + Cz + D = 0 é:
Distância = |Ax + By + Cz + D|raizA^2 + B^2 + C^2 â
No caso do plano x=1, podemos reescrever como 1x + 0y + 0z -1 = 0, ou seja, A=1, B=0, C=0, D=-1. Então, a distância é:
|x - 1|raiz1 = |x - 1|

Passo 4

Como estamos procurando os pontos que estão à mesma distância do ponto e do plano, igualamos as duas expressões de distância:
raiz(x + 1)^2 + y^2 + z^2 = |x - 1|

Passo 5

Para facilitar, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz e o valor absoluto:
(x + 1)^2 + y^2 + z^2 = (x - 1)^2

Passo 6

Agora, vamos expandir os termos:
x^2 + 2x + 1 + y^2 + z^2 = x^2 - 2x + 1

Passo 7

Subtraindo x^2 e 1 de ambos os lados para simplificar:
2x + y^2 + z^2 = -2x

Passo 8

Vamos somar 2x em ambos os lados para isolar os termos com y e z:
4x + y^2 + z^2 = 0

Resposta

A equação da superfície é:
4x + y^2 + z^2 = 0
Ou, reorganizando para destacar x:
x = -y^2 + z^24

Exercícios relacionados