Coloque a equação na forma padrão, classifique a superfície e esboce-a.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente colocar a equação
na forma padrão, descobrir que tipo de superfície ela representa e fazer um esboço dessa superfície. Para isso, vamos precisar entender um pouco de geometria analítica, especialmente sobre superfícies quadráticas e suas formas padrões.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar reescrever a equação de forma que fiquemos com algo mais familiar. A equação dada é:
Podemos reorganizar os termos para trazer todos para um lado da equação:
Passo 3
Agora, queremos colocar essa equação na forma padrão de uma superfície quadrática. Lembrando que as formas padrões mais comuns para quadricas são:
- Elipsoide
- Paraboloide
- Hiperboloide
- Cone
Observando os sinais dos termos, percebemos que temos diferenças entre os termos quadráticos, o que sugere que estamos lidando com um hiperboloide ou cone.
Passo 4
Para identificar exatamente qual superfície é, vamos comparar com as formas padrão:
- Hiperboloide de uma folha:
- Hiperboloide de duas folhas:
- Cone:
Nossa equação ficou
, que se encaixa na forma do cone.
Passo 5
Então, identificamos que a equação representa um cone. Agora, vamos desenhar um esboço desse cone. Considerando que o coeficiente de
é
, o cone terá uma abertura mais aberta ao longo do eixo y.
Resposta
A equação
está na forma padrão de um cone. Portanto, a superfície representada é um cone, e o esboço mostra um cone centralizado na origem, com a abertura mais larga ao longo do eixo y.
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e do plano
.