Coloque a equação na forma padrão, classifique a superfície e esboce-a.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para colocarmos a equação na forma padrão, classificar a superfície que ela representa e fazer um esboço dessa superfície. Isso está dentro do conteúdo de Geometria Analítica, especificamente tratando das superfícies quadráticas no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar rearranjar a equação e identificar qual tipo de superfície ela descreve.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para isolar o . Começamos com:
Vamos mover o para o outro lado da igualdade:
Assim, a equação fica na forma:
Essa é a forma padrão da equação que estamos procurando.

Passo 3

Agora, vamos classificar a superfície. A equação é uma equação quadrática nas variáveis e , e linear em . Isso caracteriza um paraboloide elíptico.
Para entender, um paraboloide elíptico é uma superfície que pode ser vista como uma parábola em qualquer plano que contenha o eixo . No nosso caso, os coeficientes de e são positivos e diferentes, o que define as curvaturas em cada direção.

Passo 4

Vamos fazer um esboço da superfície. Como o está expresso em função de e , isso significa que para cada valor de , temos uma elipse no plano .
  • Quando , a equação só é satisfeita quando e , ou seja, no ponto (0,0,0).
  • À medida que aumenta, as elipses se expandem. O coeficiente 4 em faz com que a abertura seja mais rápida ao longo do eixo do que ao longo do eixo .
No esboço, desenhe o eixo vertical e os eixos e horizontais. A superfície se abre para cima, formando uma espécie de “bacia” elíptica.

Resposta

A equação na forma padrão é . A superfície representada é um paraboloide elíptico, e o esboço mostra uma “bacia” que se abre para cima com simetria nos eixos e .

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Coloque a equação na forma padrão, classifique a superfície e esboce-a.
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