Coloque a equação na forma padrão, classifique a superfície e esboce-a.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para colocarmos a equação
na forma padrão, classificar a superfície que ela representa e fazer um esboço dessa superfície. Isso está dentro do conteúdo de Geometria Analítica, especificamente tratando das superfícies quadráticas no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar rearranjar a equação e identificar qual tipo de superfície ela descreve.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para isolar o
. Começamos com:
Vamos mover o
para o outro lado da igualdade:
Assim, a equação fica na forma:
Essa é a forma padrão da equação que estamos procurando.
Passo 3
Agora, vamos classificar a superfície. A equação
é uma equação quadrática nas variáveis
e
, e linear em
. Isso caracteriza um paraboloide elíptico.
Para entender, um paraboloide elíptico é uma superfície que pode ser vista como uma parábola em qualquer plano que contenha o eixo
. No nosso caso, os coeficientes de
e
são positivos e diferentes, o que define as curvaturas em cada direção.
Passo 4
Vamos fazer um esboço da superfície. Como o
está expresso em função de
e
, isso significa que para cada valor de
, temos uma elipse no plano
.
- Quando
, a equação só é satisfeita quando e , ou seja, no ponto (0,0,0). - À medida que
aumenta, as elipses se expandem. O coeficiente 4 em faz com que a abertura seja mais rápida ao longo do eixo do que ao longo do eixo .
No esboço, desenhe o eixo
vertical e os eixos
e
horizontais. A superfície se abre para cima, formando uma espécie de “bacia” elíptica.
Resposta
A equação na forma padrão é
. A superfície representada é um paraboloide elíptico, e o esboço mostra uma “bacia” que se abre para cima com simetria nos eixos
e
.
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