Coloque na forma a + bi os seguintes números complexos: (i^11 + 2 * i^13) / (i^18 - i^37)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para colocar a expressão (i^11 + 2 * i^13) / (i^18 - i^37) na forma , que é a forma padrão dos números complexos. Para isso, vamos precisar lembrar como funcionam as potências de i, o número imaginário.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o número i tem um ciclo de potências que se repete a cada 4 termos:
E esse ciclo continua: , , e assim por diante.

Passo 3

Agora, vamos simplificar cada potência de i na expressão:
  • Para :
    Dividindo 11 por 4, o quociente é 2 e o resto é 3. Então:
  • Para :
    Dividindo 13 por 4, o quociente é 3 e o resto é 1. Então:
  • Para :
    Dividindo 18 por 4, o quociente é 4 e o resto é 2. Então:
  • Para :
    Dividindo 37 por 4, o quociente é 9 e o resto é 1. Então:

Passo 4

Substituindo essas potências simplificadas na expressão original, temos:

Passo 5

Para simplificar , vamos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador, que é :

Passo 6

Simplificando o numerador e o denominador:
  • Numerador:
  • Denominador:

Passo 7

Então, a expressão fica:

Resposta

A expressão na forma é:

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