Coloque na forma a + bi os seguintes números complexos:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para colocar a expressão
na forma
, que é a forma padrão dos números complexos. Para isso, vamos precisar lembrar como funcionam as potências de
, o número imaginário.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o número
tem um ciclo de potências que se repete a cada 4 termos:
E esse ciclo continua:
,
, e assim por diante.
Passo 3
Agora, vamos simplificar cada potência de
na expressão:
-
Para
:
Dividindo 11 por 4, o quociente é 2 e o resto é 3. Então: -
Para
:
Dividindo 13 por 4, o quociente é 3 e o resto é 1. Então: -
Para
:
Dividindo 18 por 4, o quociente é 4 e o resto é 2. Então: -
Para
:
Dividindo 37 por 4, o quociente é 9 e o resto é 1. Então:
Passo 4
Substituindo essas potências simplificadas na expressão original, temos:
Passo 5
Para simplificar
, vamos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador, que é
:
Passo 6
Simplificando o numerador e o denominador:
-
Numerador:
-
Denominador:
Passo 7
Então, a expressão fica:
Resposta
A expressão na forma
é:
Exercícios relacionados
Calcule as seguintes potências de
:
Prove que
e coloque na forma algébrica
Se
, calcule o valor de
Determine
e
para que se tenha: