Se i^2 = -1, calcule o valor de (1+i)^{12}-(1-i)^{12}

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o valor de , considerando que . Vamos trabalhar com números complexos e usar algumas propriedades de potências para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os termos que temos. Temos e . Nosso objetivo é calcular cada uma dessas potências e depois fazer a subtração.

Passo 3

Para facilitar, vamos representar cada binômio na forma polar. Para um número complexo , podemos escrever em forma polar como , onde e .

Passo 4

Vamos calcular para :
  • Módulo:
  • Ângulo: radianos
Então,

Passo 5

Usando a fórmula de De Moivre, , temos:

Passo 6

Calculando os valores:
Então,
Como e , temos:

Passo 7

Agora, vamos calcular de forma semelhante:
  • Módulo:
  • Ângulo: radianos
Então,

Passo 8

Aplicando De Moivre:

Passo 9

Calculando:
Então,
Como e , temos:

Resposta

Portanto, .

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