Coloque V para as assertivas verdadeiras e F para as falsas. Justifique-as.
a) ( ) S=(x, y) in R^2 ; x=y^2 é subespaço de R^2.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um conjunto e precisamos determinar se ele é um subespaço de . Para isso, vamos usar alguns conceitos de álgebra linear sobre subespaços vetoriais, verificando se satisfaz três condições principais:
  1. Contém o vetor zero.
  2. É fechado sob adição.
  3. É fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificar se o vetor zero está em x = y^2 Rightarrow 0 = 0^2 Rightarrow 0 = 0 :
O vetor zero em é . Vamos ver se ele pertence a :
Essa igualdade é verdadeira, então o vetor zero está em .

Passo 3

Verificar se x1 = y1^2 e x2 = y2^2 é fechado sob adição:
Para ver se (x1 + x2, y1 + y2) é fechado sob adição, pegamos dois vetores quaisquer em x1 + x2 = (y1 + y2)^2 , digamos y1^2 + y2^2 = y1^2 + 2y1y2 + y2^2 e 0 = 2y1y2 , onde:
Agora, somamos esses vetores:
Para que essa soma também pertença a , deve-se cumprir que:
Substituindo e :
Simplificando:
Essa igualdade só é verdadeira se ou . Como isso não acontece para todos os e , concluímos que não é fechado sob adição.

Passo 4

Já que não é fechado sob adição, ele não satisfaz todas as condições para ser um subespaço de . Não precisamos verificar as outras condições, pois uma já falhou.

Resposta

F – O conjunto não é subespaço de .

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