Seja V=M2 times 2(R). Faça o que se pede:
c) Determine os geradores de S1 e de S2 e verifique se é possível [S1+S2]= [V]

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem como espaço vetorial , que são todas as matrizes 2x2 com números reais. O que a gente precisa fazer aqui é determinar os geradores de dois subespaços, e , e ver se a soma desses subespaços gera todo o espaço . Para isso, vamos precisar entender o que são geradores e como somar subespaços.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um gerador. Um conjunto de vetores é chamado de gerador de um subespaço se a combinação linear desses vetores pode formar qualquer vetor do subespaço. No caso das matrizes, queremos encontrar matrizes que, combinadas linearmente, consigam formar qualquer matriz em e .

Passo 3

Vamos supor que S1 = span 1 & 0 0 & 0 , 0 & 1 0 & 0 e S2 = span 0 & 0 1 & 0 , 0 & 0 0 & 1 já estão definidos anteriormente no exercício. Sem a definição exata, vamos considerar que cada um desses subespaços é gerado por um conjunto específico de matrizes. Por exemplo, suponha que:
Aqui, é gerado pelas duas primeiras matrizes e pelas duas últimas.

Passo 4

Agora, vamos verificar se esses conjuntos realmente geram a 1 & 0 0 & 0 + b 0 & 1 0 & 0 = a & b 0 & 0 e c 0 & 0 1 & 0 + d 0 & 0 0 & 1 = 0 & 0 c & d . Para , qualquer matriz no subespaço pode ser escrita como:
Onde . Similarmente, para :
Onde . Então, os conjuntos realmente geram e .

Passo 5

Agora, vamos somar a & b 0 & 0 + 0 & 0 c & d = a & b c & d e . A soma de dois subespaços é o conjunto de todas as matrizes que podem ser escritas como a soma de uma matriz de e uma matriz de :
Onde .

Passo 6

Observamos que qualquer matriz a & b c & d em S1 + S2 = V pode ser obtida dessa forma. Isso significa que:
Ou seja, a soma dos geradores de e gera todo o espaço .

Resposta

Os geradores de 1 & 0 0 & 0 são as matrizes 0 & 1 0 & 0 e 0 & 0 1 & 0 , e os geradores de 0 & 0 0 & 1 são e . A soma é igual a , ou seja, .

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