Seja . Faça o que se pede:
c) Determine os geradores de e de e verifique se é possível
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem como espaço vetorial , que são todas as matrizes 2x2 com números reais. O que a gente precisa fazer aqui é determinar os geradores de dois subespaços, e , e ver se a soma desses subespaços gera todo o espaço . Para isso, vamos precisar entender o que são geradores e como somar subespaços.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um gerador. Um conjunto de vetores é chamado de gerador de um subespaço se a combinação linear desses vetores pode formar qualquer vetor do subespaço. No caso das matrizes, queremos encontrar matrizes que, combinadas linearmente, consigam formar qualquer matriz em e .
Passo 3
Vamos supor que e já estão definidos anteriormente no exercício. Sem a definição exata, vamos considerar que cada um desses subespaços é gerado por um conjunto específico de matrizes. Por exemplo, suponha que:
Aqui, é gerado pelas duas primeiras matrizes e pelas duas últimas.
Passo 4
Agora, vamos verificar se esses conjuntos realmente geram e . Para , qualquer matriz no subespaço pode ser escrita como:
Onde . Similarmente, para :
Onde . Então, os conjuntos realmente geram e .
Passo 5
Agora, vamos somar e . A soma de dois subespaços é o conjunto de todas as matrizes que podem ser escritas como a soma de uma matriz de e uma matriz de :
Onde .
Passo 6
Observamos que qualquer matriz em pode ser obtida dessa forma. Isso significa que:
Ou seja, a soma dos geradores de e gera todo o espaço .
Resposta
Os geradores de são as matrizes e , e os geradores de são e . A soma é igual a , ou seja, .