Seja
. Faça o que se pede:
c) Determine os geradores de
e de
e verifique se é possível
c) Determine os geradores de
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem como espaço vetorial
, que são todas as matrizes 2x2 com números reais. O que a gente precisa fazer aqui é determinar os geradores de dois subespaços,
e
, e ver se a soma desses subespaços
gera todo o espaço
. Para isso, vamos precisar entender o que são geradores e como somar subespaços.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um gerador. Um conjunto de vetores é chamado de gerador de um subespaço se a combinação linear desses vetores pode formar qualquer vetor do subespaço. No caso das matrizes, queremos encontrar matrizes que, combinadas linearmente, consigam formar qualquer matriz em
e
.
Passo 3
Vamos supor que
e
já estão definidos anteriormente no exercício. Sem a definição exata, vamos considerar que cada um desses subespaços é gerado por um conjunto específico de matrizes. Por exemplo, suponha que:
Aqui,
é gerado pelas duas primeiras matrizes e
pelas duas últimas.
Passo 4
Agora, vamos verificar se esses conjuntos realmente geram
e
. Para
, qualquer matriz no subespaço pode ser escrita como:
Onde
. Similarmente, para
:
Onde
. Então, os conjuntos realmente geram
e
.
Passo 5
Agora, vamos somar
e
. A soma de dois subespaços
é o conjunto de todas as matrizes que podem ser escritas como a soma de uma matriz de
e uma matriz de
:
Onde
.
Passo 6
Observamos que qualquer matriz
em
pode ser obtida dessa forma. Isso significa que:
Ou seja, a soma dos geradores de
e
gera todo o espaço
.
Resposta
Os geradores de
são as matrizes
e
, e os geradores de
são
e
. A soma
é igual a
, ou seja,
.