Coloque V (verdadeira) ou F (falsa) para cada uma das seguintes afirmações:
(h) Se A é uma matriz anti-simétrica, então A^3 é simétrica.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado da questão pede para dizer se a afirmação “Se é uma matriz anti-simétrica, então é simétrica” é verdadeira (V) ou falsa (F). Para resolver isso, vamos precisar entender o que são matrizes anti-simétricas e simétricas e como elas se comportam quando elevadas a potências.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz anti-simétrica. Uma matriz A^T = -A é anti-simétrica se, ao transpor ela, a matriz resultante for igual ao negativo da original. Ou seja:
Isso significa que, se você inverter as linhas e colunas de , cada elemento será o oposto do que estava na posição original.

Passo 3

Agora, precisamos analisar o que acontece quando elevamos uma matriz anti-simétrica ao cubo, ou seja, calculamos A^3 = A times A times A . A matriz (A^3)^T = A^3 é simplesmente multiplicada por si mesma três vezes:
Queremos saber se é uma matriz simétrica, ou seja, se:

Passo 4

Vamos calcular a transposta de (A^3)^T = (A times A times A)^T :
(A times A times A)^T = A^T times A^T times A^T
Usando a propriedade das matrizes transpostas, que diz que a transposta de um produto é igual ao produto das transpostas na ordem inversa:
A^T times A^T times A^T = (-A) times (-A) times (-A) = -A^3
Sabemos que (A^3)^T = -A^3 é anti-simétrica, então . Substituindo:
Portanto:

Passo 5

Para ser simétrica, precisaríamos que . Mas vimos que . Isso só é possível se , ou seja, se for tal que sua terceira potência seja a matriz nula.
Entretanto, não podemos afirmar que toda matriz anti-simétrica elevada ao cubo resulta na matriz nula. Portanto, a afirmação original não é verdadeira em geral.

Resposta

F

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