Coloque V (verdadeira) ou F (falsa) para cada uma das seguintes afirmações:
(h) Se
é uma matriz anti-simétrica, então
é simétrica.
(h) Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado da questão pede para dizer se a afirmação “Se
é uma matriz anti-simétrica, então
é simétrica” é verdadeira (V) ou falsa (F). Para resolver isso, vamos precisar entender o que são matrizes anti-simétricas e simétricas e como elas se comportam quando elevadas a potências.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz anti-simétrica. Uma matriz
é anti-simétrica se, ao transpor ela, a matriz resultante for igual ao negativo da original. Ou seja:
Isso significa que, se você inverter as linhas e colunas de
, cada elemento será o oposto do que estava na posição original.
Passo 3
Agora, precisamos analisar o que acontece quando elevamos uma matriz anti-simétrica ao cubo, ou seja, calculamos
. A matriz
é simplesmente
multiplicada por si mesma três vezes:
Queremos saber se
é uma matriz simétrica, ou seja, se:
Passo 4
Vamos calcular a transposta de
:
Usando a propriedade das matrizes transpostas, que diz que a transposta de um produto é igual ao produto das transpostas na ordem inversa:
Sabemos que
é anti-simétrica, então
. Substituindo:
Portanto:
Passo 5
Para
ser simétrica, precisaríamos que
. Mas vimos que
. Isso só é possível se
, ou seja, se
for tal que sua terceira potência seja a matriz nula.
Entretanto, não podemos afirmar que toda matriz anti-simétrica elevada ao cubo resulta na matriz nula. Portanto, a afirmação original não é verdadeira em geral.
Resposta
F