Considere o ponto A=(1,2,-1) e a reta
r:lx=6-lambda y=lambda z=9-2 lambda
© Obtenha equações vetorial e geral do plano pi que contém a reta r e é paralelo ao vetor v=(0,-1,1)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está nos pedindo. Temos um ponto x = 6 - lambda y = lambda z = 9 - 2lambda e uma reta definida pelas equações paramétricas:
Além disso, temos um vetor . Nosso objetivo é encontrar as equações vetorial e geral do plano que contém a reta e é paralelo ao vetor . Para isso, vamos precisar entender conceitos de vetores, retas e planos no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a direção da reta . Nas equações paramétricas da reta, o termo que multiplica o parâmetro representa a direção da reta. Assim, a direção da reta é o vetor .

Passo 3

Sabemos que o plano deve conter a reta e ser paralelo ao vetor . Isso significa que os vetores e são vetores diretores do plano .

Passo 4

Para determinar o plano, precisamos encontrar um vetor normal n = dr times v ao plano dr times v = i & j & k -1 & 1 & -2 0 & -1 & 1 = i(1 cdot 1 - (-2) cdot (-1)) - j(-1 cdot 1 - (-2) cdot 0) + k(-1 cdot (-1) - 1 cdot 0) . O vetor normal pode ser obtido calculando o produto vetorial entre os vetores diretores do plano:
= i(1 - 2) - j(-1 - 0) + k(1 - 0)
Vamos calcular:
= -i + j + k
Portanto, .

Passo 5

Com o vetor normal x = 6 - 0 = 6, y = 0, z = 9 - 0 = 9 e um ponto da reta que pertence ao plano , podemos escrever a equação geral do plano. Vamos escolher para encontrar um ponto na reta :
Então, um ponto da reta é .

Passo 6

A equação geral do plano é dada por:
-1(x - 6) + 1(y - 0) + 1(z - 9) = 0
Simplificando:
- x + 6 + y + z - 9 = 0
- x + y + z - 3 = 0
Multiplicando todos os termos por x - y - z + 3 = 0 para uma forma mais convencional:

Passo 7

Agora, vamos escrever a equação vetorial do plano r = P + sdr + tv . Sabemos que o plano é definido por um ponto e dois vetores diretores. Vamos usar o ponto r = (6, 0, 9) + s(-1, 1, -2) + t(0, -1, 1) e os vetores e .
A equação vetorial fica:
onde e são parâmetros reais.
Substituindo:

Resposta

A equação vetorial do plano r = (6, 0, 9) + s(-1, 1, -2) + t(0, -1, 1) é:
x - y - z + 3 = 0
E a equação geral do plano é:

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