Verifique, em cada caso, se
é um subespaço vetorial do
.
d)
d)
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos verificar se o conjunto
é um subespaço vetorial de
. Para isso, vamos usar os conceitos de álgebra linear que definem o que é um subespaço. Vamos precisar verificar três coisas fundamentais:
- Se o vetor zero pertence a
. - Se
é fechado sob adição de vetores. - Se
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, precisamos verificar se o vetor zero está em
. O vetor zero em
é
.
Substituindo
e
na equação
:
Então,
está em
.
Passo 3
Agora, vamos verificar se
é fechado sob adição. Isso significa que se tivermos dois vetores quaisquer em
, a soma deles também deve estar em
.
Sejam
e
pertencentes a
. Então:
A soma
.
Substituindo na equação de
:
Como
e
, a equação acima é verdadeira. Portanto,
está em
.
Passo 4
Por último, vamos verificar se
é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que se tivermos um vetor em
e multiplicarmos por um número qualquer, o resultado ainda deve estar em
.
Seja
em
e
um escalar. Então:
Multiplicando por
:
Portanto,
também satisfaz a equação
, o que significa que
está em
.
Resposta
Sim,
é um subespaço vetorial de
.