Verifique, em cada caso, se é um subespaço vetorial do .
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Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos verificar se o conjunto é um subespaço vetorial de . Para isso, vamos usar os conceitos de álgebra linear que definem o que é um subespaço. Vamos precisar verificar três coisas fundamentais:
Se o vetor zero pertence a .
Se é fechado sob adição de vetores.
Se é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, precisamos verificar se o vetor zero está em . O vetor zero em é .
Substituindo e na equação :
Então, está em .
Passo 3
Agora, vamos verificar se é fechado sob adição. Isso significa que se tivermos dois vetores quaisquer em , a soma deles também deve estar em .
Sejam e pertencentes a . Então:
A soma .
Substituindo na equação de :
Como e , a equação acima é verdadeira. Portanto, está em .
Passo 4
Por último, vamos verificar se é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que se tivermos um vetor em e multiplicarmos por um número qualquer, o resultado ainda deve estar em .
Seja em e um escalar. Então:
Multiplicando por :
Portanto, também satisfaz a equação , o que significa que está em .