Verifique, em cada caso, se V é um subespaço vetorial do R^3.
d) V=(x, y, z) mid z=3 x-2 y

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos verificar se o conjunto é um subespaço vetorial de . Para isso, vamos usar os conceitos de álgebra linear que definem o que é um subespaço. Vamos precisar verificar três coisas fundamentais:
  1. Se o vetor zero pertence a .
  2. Se é fechado sob adição de vetores.
  3. Se é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, precisamos verificar se o vetor zero está em z = 3(0) - 2(0) = 0 . O vetor zero em é .
Substituindo e na equação :
Então, está em .

Passo 3

Agora, vamos verificar se z1 = 3x1 - 2y1 é fechado sob adição. Isso significa que se tivermos dois vetores quaisquer em z2 = 3x2 - 2y2 , a soma deles também deve estar em z1 + z2 = 3(x1 + x2) - 2(y1 + y2) .
Sejam z1 + z2 = 3x1 + 3x2 - 2y1 - 2y2 e pertencentes a . Então:
A soma .
Substituindo na equação de :
Como e , a equação acima é verdadeira. Portanto, está em .

Passo 4

Por último, vamos verificar se z = 3x - 2y é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que se tivermos um vetor em c cdot z = c cdot (3x - 2y) e multiplicarmos por um número qualquer, o resultado ainda deve estar em z' = 3(cx) - 2(cy) .
Seja em e um escalar. Então:
Multiplicando por :
Portanto, também satisfaz a equação , o que significa que está em .

Resposta

Sim, é um subespaço vetorial de .

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