Duas forças com magnitudes de 60 Ne 80 N formam entre si um ângulo de 30^circ e estão aplicadas ao mesmo ponto de um objeto. Ache (a) a magnitude da força resultante e (b) o ângulo que ela forma com a força de 60 N , com precisão de um grau.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Você tem duas forças: uma de 60 N e outra de 80 N, que estão formando um ângulo de entre elas. Nosso objetivo é encontrar:
a) A magnitude da força resultante que essas duas forças produzem.
b) O ângulo que essa força resultante forma com a força de 60 N.
Para isso, vamos usar conceitos de soma de vetores, especificamente as fórmulas do cosseno e do seno. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, para encontrar a magnitude da força resultante, vamos usar a Lei dos Cossenos. Essa lei nos ajuda a encontrar o comprimento de um lado de um triângulo quando conhecemos os outros dois lados e o ângulo entre eles.
A fórmula da Lei dos Cossenos é:
R = raizF1^2 + F2^2 + 2 cdot F1 cdot F2 cdot cos(theta)
Onde:
  • é a força resultante que queremos encontrar.
  • e são as magnitudes das forças (60 N e 80 N).
  • é o ângulo entre elas (30°).

Passo 3

Vamos substituir os valores na fórmula:
R = raiz60^2 + 80^2 + 2 cdot 60 cdot 80 cdot cos(30^circ)
Primeiro, calculamos os quadrados:
60^2 = 3600 80^2 = 6400
E o produto:
2 cdot 60 cdot 80 = 9600
Agora, precisamos do valor de cos(30^circ) approx 0,8660 . Sabemos que:

Passo 4

Vamos continuar substituindo:
R = raiz3600 + 6400 + 9600 cdot 0,8660
Primeiro, multiplicamos 9600 por 0,8660:
9600 cdot 0,8660 approx 8300,16
Agora, somamos todos os valores dentro da raiz:
3600 + 6400 + 8300,16 = 18300,16

Passo 5

Finalmente, tiramos a raiz quadrada para encontrar R = raiz18300,16 approx 135,29 , N :
R approx 135,3 , N
Arredondando para um valor mais simples:

Passo 6

Agora, vamos encontrar o ângulo que a força resultante forma com a força de 60 N. Para isso, usamos a Lei dos Senos, que relaciona os lados e os ângulos de um triângulo.
A fórmula da Lei dos Senos é:
sin(alpha)F2 = sin(theta)R
Onde:
  • é o ângulo que queremos encontrar.
  • é a força de 80 N.
  • é o ângulo entre as forças (30°).
  • é a força resultante (135,3 N).

Passo 7

Vamos reorganizar a fórmula para resolver sin(alpha) = F2 cdot sin(theta)R :
sin(alpha) = 80 cdot sin(30^circ)135,3
Substituindo os valores:
sin(30^circ) = 0,5
Sabemos que:

Passo 8

Calculando:
sin(alpha) = 80 cdot 0,5135,3 = 40135,3 approx 0,2957
Agora, para encontrar alpha = arcsin(0,2957) approx 17,3^circ , tiramos o arco seno:
alpha approx 17^circ
Arredondando para um grau:

Resposta

a) A magnitude da força resultante é aproximadamente 135,3 N.
b) O ângulo que a força resultante forma com a força de 60 N é aproximadamente 17°.

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