Verifique, em cada caso, se W é um subespaço vetorial de M3(R).
b) W=A=(ai j) in M3(R) mid ai j=aj i, para todo i, j=1,2,3;

Passo 1

Vamos entender o que estamos perguntando. Queremos verificar se o conjunto é um subespaço vetorial de . Aqui, é o conjunto de todas as matrizes que são simétricas, ou seja, para todo . Para isso, precisamos lembrar o que define um subespaço vetorial. Precisamos verificar três coisas:
  1. O vetor zero está em .
  2. é fechado sob adição.
  3. é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, verificamos se a matriz zero está em . A matriz zero é a matriz onde todos os elementos são zero. Claramente, , então a matriz zero satisfaz . Portanto, a matriz zero está em .

Passo 3

Segundo, precisamos verificar se (A + B)ij = Aij + Bij é fechado sob adição. Isso significa que se pegarmos duas matrizes simétricas (A + B)ij = Aji + Bji = (A + B)ji e em , a soma também deve ser simétrica. Vamos verificar:
Como e são simétricas, e . Então,
Então, também é simétrica, e portanto é fechado sob adição.

Passo 4

Terceiro, verificamos se (cA)ij = c cdot Aij é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que se pegarmos uma matriz simétrica (cA)ij = c cdot Aij = c cdot Aji = (cA)ji em e um escalar , então a matriz também deve ser simétrica. Vamos verificar:
Como é simétrica, . Então,
Portanto, também é simétrica, e é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Sim, é um subespaço vetorial de .

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