Verifique, em cada caso, se
é um subespaço vetorial de
.
b)
, para todo
;
b)
Passo 1
Vamos entender o que estamos perguntando. Queremos verificar se o conjunto
é um subespaço vetorial de
. Aqui,
é o conjunto de todas as matrizes
que são simétricas, ou seja,
para todo
. Para isso, precisamos lembrar o que define um subespaço vetorial. Precisamos verificar três coisas:
- O vetor zero está em
. -
é fechado sob adição. -
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, verificamos se a matriz zero está em
. A matriz zero é a matriz onde todos os elementos são zero. Claramente,
, então a matriz zero satisfaz
. Portanto, a matriz zero está em
.
Passo 3
Segundo, precisamos verificar se
é fechado sob adição. Isso significa que se pegarmos duas matrizes simétricas
e
em
, a soma
também deve ser simétrica. Vamos verificar:
Como
e
são simétricas,
e
. Então,
Então,
também é simétrica, e portanto
é fechado sob adição.
Passo 4
Terceiro, verificamos se
é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que se pegarmos uma matriz simétrica
em
e um escalar
, então a matriz
também deve ser simétrica. Vamos verificar:
Como
é simétrica,
. Então,
Portanto,
também é simétrica, e
é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Sim,
é um subespaço vetorial de
.