A coluna ABC tem uma seção transversal retangular uniforme com b=12 mm e d=22 mm. A coluna é contraventada no plano xz em seu ponto médio C e suporta uma força centrada P de intensidade de 3,8 kN. Sabendo que é exigido um coeficiente de segurança de 3,2, determine o maior comprimento L admissível. Use E=200 GPa.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma coluna retangular com largura e altura . Essa coluna está contraventada no ponto médio, ou seja, está apoiada no meio para evitar que ela balance. Ela suporta uma força vertical . A gente também tem um coeficiente de segurança de e o módulo de elasticidade . Nosso objetivo é descobrir o maior comprimento que essa coluna pode ter sem falhar.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a coluna pode sofrer flexão devido à força aplicada. Para garantir que ela não dobre demais, usamos a Teoria de Euler para calcular a carga crítica que a coluna pode suportar antes de falhar. A carga crítica depende do comprimento da coluna , do módulo de elasticidade e do momento de inércia da seção transversal.

Passo 3

Como a coluna está contraventada no ponto médio, ela fica efetivamente dividida em duas partes de comprimento Pc = 8 pi^2 E IL^2 . Para cada metade, a condição de contraventação influencia o cálculo da carga crítica. A fórmula da carga crítica para uma coluna com contraventação no meio é:

Passo 4

Agora, vamos calcular o momento de inércia I = b d^312 da seção transversal retangular. A fórmula para uma seção retangular é:
I = 12 , mm times (22 , mm)^312 = 22^3 , mm^4 = 10.648 , cm^4
Substituindo os valores:
(Nota: Converti para centímetros para facilitar as unidades com .)

Passo 5

Vamos ajustar as unidades para que tudo fique consistente. Sabemos que Pc = 8 pi^2 times 200 times 10^3 times 10.648L^2 e . Substituindo na fórmula da carga crítica:

Passo 6

Considerando o coeficiente de segurança, a carga admissível Padm = Pcoeficiente de segurança = 3,8 times 10^3 , N3,2 = 1.187,5 , N é:
8 pi^2 times 200 times 10^3 times 10.648L^2 >= 1.187,5 ç
Para garantir a segurança, devemos ter . Então:

Passo 7

Vamos resolver para L^2 <= 8 pi^2 times 200 times 10^3 times 10.6481.187,5 :
L^2 <= 8 times 9,8696 times 200 times 10^3 times 10.6481.187,5 approx 1.682 times 10^71.187,5 approx 1,417 times 10^4 , cm^2
Calculando os valores:

Passo 8

Agora, tiramos a raiz quadrada para encontrar L <= raiz1,417 times 10^4 approx 119 , cm = 1,19 , m :

Resposta

O maior comprimento admissível para a coluna é aproximadamente 1,19 metros.

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