A coluna ABC tem uma seção transversal retangular uniforme com
e
. A coluna é contraventada no plano xz em seu ponto médio C e suporta uma força centrada P de intensidade de
. Sabendo que é exigido um coeficiente de segurança de 3,2, determine o maior comprimento L admissível. Use E=200 GPa.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma coluna retangular com largura
e altura
. Essa coluna está contraventada no ponto médio, ou seja, está apoiada no meio para evitar que ela balance. Ela suporta uma força vertical
. A gente também tem um coeficiente de segurança de
e o módulo de elasticidade
. Nosso objetivo é descobrir o maior comprimento
que essa coluna pode ter sem falhar.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a coluna pode sofrer flexão devido à força aplicada. Para garantir que ela não dobre demais, usamos a Teoria de Euler para calcular a carga crítica que a coluna pode suportar antes de falhar. A carga crítica
depende do comprimento da coluna
, do módulo de elasticidade
e do momento de inércia
da seção transversal.
Passo 3
Como a coluna está contraventada no ponto médio, ela fica efetivamente dividida em duas partes de comprimento
. Para cada metade, a condição de contraventação influencia o cálculo da carga crítica. A fórmula da carga crítica para uma coluna com contraventação no meio é:
Passo 4
Agora, vamos calcular o momento de inércia
da seção transversal retangular. A fórmula para uma seção retangular é:
Substituindo os valores:
(Nota: Converti para centímetros para facilitar as unidades com
.)
Passo 5
Vamos ajustar as unidades para que tudo fique consistente. Sabemos que
e
. Substituindo na fórmula da carga crítica:
Passo 6
Considerando o coeficiente de segurança, a carga admissível
é:
Para garantir a segurança, devemos ter
. Então:
Passo 7
Vamos resolver para
:
Calculando os valores:
Passo 8
Agora, tiramos a raiz quadrada para encontrar
:
Resposta
O maior comprimento admissível para a coluna é aproximadamente 1,19 metros.