Uma coluna de flange largo de aço com perfil HE-320A, está apoiada por pinos nas extremidades e tem comprimento de
. A coluna suporta um carregamento aplicado no centroide
e um carregamento aplicado excentricamente
. Aflexão ocorre sobre o eixo 1-1 da seção transversal e o carregamento excêntrico age no eixo 2-2 a uma distância de 400 mm a partir do centroide C. a) Usando a fórmula da secante e assumindo
, calcule a tensão de compressão máxima na coluna; b) Se a tensão de escoamento para o aço é 300 MPa , qual é o fator de segurança com relação ao escoamento?
Dados: A (área da seção):
r (raio de giração)
(Distância entre os topos das mesas)
(a)
(b)
Dados: A (área da seção):
r (raio de giração)
Passo 1
Entendendo o Problema e Identificando os Conceitos Envolvidos
Vamos lá, amigo! Primeiro, vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos uma coluna de aço com perfil HE-320A, apoiada por pinos nas extremidades, com um comprimento de 7,5 metros. Ela está sujeita a duas cargas:
- P₁ = 1800 kN: Essa carga está aplicada no centroide da coluna.
- P₂ = 200 kN: Essa é uma carga excêntrica, ou seja, aplicada a uma distância de 400 mm do centroide, causando flexão.
O exercício tem duas partes:
a) Calcular a tensão de compressão máxima na coluna usando a fórmula da secante, considerando o módulo de elasticidade E = 210 GPa.
b) Determinar o fator de segurança em relação à tensão de escoamento do aço, que é de 300 MPa.
a) Calcular a tensão de compressão máxima na coluna usando a fórmula da secante, considerando o módulo de elasticidade E = 210 GPa.
b) Determinar o fator de segurança em relação à tensão de escoamento do aço, que é de 300 MPa.
Conteúdos que vamos precisar:
- Fórmula da secante para análise de colunas.
- Conceitos de momento de inércia e raio de giração.
- Cálculo de tensões em componentes submetidos a forças axiais e momentos fletores.
- Fator de segurança.
Passo 2
Convertendo Unidades para Consistência
Antes de mais nada, é importante garantir que todas as unidades estejam compatíveis. Vamos converter tudo para o Sistema Internacional (SI):
- Comprimento da coluna (L): 7,5 m
- Eixo excêntrico (e): 400 mm = 0,4 m
- Área da seção (A): 124,4 cm² = 0,01244 m²
- Raio de giração ®: 13,58 cm = 0,1358 m
- Distância entre os topos das mesas (h): 310 mm = 0,31 m
- Módulo de Elasticidade (E): 210 GPa = 210 × 10⁹ Pa
- Cargas:
- P₁ = 1800 kN = 1,8 × 10⁶ N
- P₂ = 200 kN = 2 × 10⁵ N
Passo 3
Calculando o Momento de Inércia (I)
Para usar a fórmula da secante, precisamos do momento de inércia da seção transversal da coluna. O raio de giração ® está relacionado ao momento de inércia pela fórmula:
Onde:
-
é a área da seção. -
é o raio de giração.
Substituindo os valores:
Passo 4
Aplicando a Fórmula da Secante para Colunas
A fórmula da secante para calcular a tensão de compressão máxima (
) em uma coluna é:
Onde:
-
é a carga axial aplicada. -
é a excentricidade da carga. -
é a área da seção. -
é o módulo de elasticidade.
Neste caso, temos duas cargas:
- Carga axial central:
- Carga excêntrica:
com excentricidade
Primeiro, vamos considerar a carga total
que a coluna suporta:
Agora, aplicamos à fórmula:
Passo 5
Realizando os Cálculos Passo a Passo
Vamos calcular cada parte separadamente para facilitar.
- Primeira parte:
- Segunda parte dentro dos parênteses:
- Somando 1 à segunda parte:
- Multiplicando a primeira parte pela soma:
Convertendo para MPa (1 MPa = 10⁶ Pa):
Passo 6
Calculando o Fator de Segurança
Agora, para a parte b, precisamos calcular o fator de segurança (
) em relação à tensão de escoamento (
).
A fórmula do fator de segurança é:
Substituindo os valores:
Resposta
a) A tensão de compressão máxima na coluna é aproximadamente 160,77 MPa.
b) O fator de segurança com relação ao escoamento é aproximadamente 1,87.
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e
, respectivamente.
Determine as curvas de nível e as interseções do gráfico da função com os planos
e
e faça um esboço do gráfico:
Encontre o volume abaixo do paraboloide
e acima do círculo
.