Uma coluna de flange largo de aço com perfil HE-320A, está apoiada por pinos nas extremidades e tem comprimento de . A coluna suporta um carregamento aplicado no centroide e um carregamento aplicado excentricamente . Aflexão ocorre sobre o eixo 1-1 da seção transversal e o carregamento excêntrico age no eixo 2-2 a uma distância de 400 mm a partir do centroide C. a) Usando a fórmula da secante e assumindo , calcule a tensão de compressão máxima na coluna; b) Se a tensão de escoamento para o aço é 300 MPa , qual é o fator de segurança com relação ao escoamento?
Dados: A (área da seção):
r (raio de giração)
(Distância entre os topos das mesas)
(a)
(b)

Passo 1

Entendendo o Problema e Identificando os Conceitos Envolvidos
Vamos lá, amigo! Primeiro, vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos uma coluna de aço com perfil HE-320A, apoiada por pinos nas extremidades, com um comprimento de 7,5 metros. Ela está sujeita a duas cargas:
  1. P₁ = 1800 kN: Essa carga está aplicada no centroide da coluna.
  2. P₂ = 200 kN: Essa é uma carga excêntrica, ou seja, aplicada a uma distância de 400 mm do centroide, causando flexão.
O exercício tem duas partes:
a) Calcular a tensão de compressão máxima na coluna usando a fórmula da secante, considerando o módulo de elasticidade E = 210 GPa.
b) Determinar o fator de segurança em relação à tensão de escoamento do aço, que é de 300 MPa.
Conteúdos que vamos precisar:
  • Fórmula da secante para análise de colunas.
  • Conceitos de momento de inércia e raio de giração.
  • Cálculo de tensões em componentes submetidos a forças axiais e momentos fletores.
  • Fator de segurança.

Passo 2

Convertendo Unidades para Consistência
Antes de mais nada, é importante garantir que todas as unidades estejam compatíveis. Vamos converter tudo para o Sistema Internacional (SI):
  • Comprimento da coluna (L): 7,5 m
  • Eixo excêntrico (e): 400 mm = 0,4 m
  • Área da seção (A): 124,4 cm² = 0,01244 m²
  • Raio de giração ®: 13,58 cm = 0,1358 m
  • Distância entre os topos das mesas (h): 310 mm = 0,31 m
  • Módulo de Elasticidade (E): 210 GPa = 210 × 10⁹ Pa
  • Cargas:
    • P₁ = 1800 kN = 1,8 × 10⁶ N
    • P₂ = 200 kN = 2 × 10⁵ N

Passo 3

Calculando o Momento de Inércia (I)
Para usar a fórmula da secante, precisamos do momento de inércia da seção transversal da coluna. O raio de giração ® está relacionado ao momento de inércia pela fórmula:
Onde:
  • é a área da seção.
  • é o raio de giração.
Substituindo os valores:
²²

Passo 4

Aplicando a Fórmula da Secante para Colunas
A fórmula da secante para calcular a tensão de compressão máxima ( á) em uma coluna é:
á
Onde:
  • é a carga axial aplicada.
  • é a excentricidade da carga.
  • é a área da seção.
  • é o módulo de elasticidade.
Neste caso, temos duas cargas:
  • Carga axial central:
  • Carga excêntrica: com excentricidade
Primeiro, vamos considerar a carga total que a coluna suporta:
Agora, aplicamos à fórmula:
á

Passo 5

Realizando os Cálculos Passo a Passo
Vamos calcular cada parte separadamente para facilitar.
  1. Primeira parte:
  1. Segunda parte dentro dos parênteses:
  1. Somando 1 à segunda parte:
  1. Multiplicando a primeira parte pela soma:
Convertendo para MPa (1 MPa = 10⁶ Pa):
á

Passo 6

Calculando o Fator de Segurança
Agora, para a parte b, precisamos calcular o fator de segurança ( ) em relação à tensão de escoamento ( ).
A fórmula do fator de segurança é:
á
Substituindo os valores:

Resposta

a) A tensão de compressão máxima na coluna é aproximadamente 160,77 MPa.
b) O fator de segurança com relação ao escoamento é aproximadamente 1,87.

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