Determine as curvas de nível e as interseções do gráfico da função com os planos
e
e faça um esboço do gráfico:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer que a gente descubra as curvas de nível da função
, encontrar onde o gráfico dessa função intersecta os planos yz e xz, e ainda fazer um esboço desse gráfico. Para isso, vamos usar conceitos de funções de duas variáveis, curvas de nível, e interseções de gráficos com planos. Vamos precisar manipular logaritmos e entender como representamos gráficos em 3D.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. Elas são como “fatias” do gráfico onde a função assume um valor constante. Ou seja, para cada valor fixo de
, a equação
vai nos dar uma curva no plano
.
Passo 3
Vamos definir
, onde
é uma constante. Substituindo na equação:
Para simplificar, vamos eliminar o logaritmo aplicando a função exponencial dos dois lados:
Essa é a equação de um círculo com raio
no plano
. Então, as curvas de nível são círculos concêntricos com centro na origem.
Passo 4
Agora, vamos encontrar as interseções do gráfico com os planos
e
.
- Interseção com o plano
(onde ):
Substituindo
na equação da função:
Essa é uma função que representa uma curva logarítmica no plano
.
- Interseção com o plano
(onde ):
Substituindo
na equação da função:
Da mesma forma, essa é uma curva logarítmica no plano
.
Passo 5
Por fim, vamos fazer um esboço do gráfico da função
. Sabemos que:
- As curvas de nível são círculos no plano
, cada um correspondendo a um valor de . - As interseções com os planos
e são curvas logarítmicas.
O gráfico geral vai se parecer com um paraboloide circular que se abre para cima, mas como é um logaritmo, ele cresce de forma mais lenta conforme nos afastamos da origem.
Resposta
As curvas de nível da função
são círculos concêntricos no plano
definidos por
, onde
é uma constante. As interseções do gráfico com os planos
e
são curvas logarítmicas dadas por
e
, respectivamente. O esboço do gráfico é um paraboloide circular que se eleva suavemente a partir da origem, com curvas de nível circulares e interseções logarítmicas nos planos
e
.