Determine as curvas de nível e as interseções do gráfico da função com os planos y z e x z e faça um esboço do gráfico: z = ln(x^2 + y^2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer que a gente descubra as curvas de nível da função , encontrar onde o gráfico dessa função intersecta os planos yz e xz, e ainda fazer um esboço desse gráfico. Para isso, vamos usar conceitos de funções de duas variáveis, curvas de nível, e interseções de gráficos com planos. Vamos precisar manipular logaritmos e entender como representamos gráficos em 3D.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. Elas são como “fatias” do gráfico onde a função assume um valor constante. Ou seja, para cada valor fixo de , a equação vai nos dar uma curva no plano .

Passo 3

Vamos definir , onde é uma constante. Substituindo na equação:
Para simplificar, vamos eliminar o logaritmo aplicando a função exponencial dos dois lados:
Essa é a equação de um círculo com raio no plano . Então, as curvas de nível são círculos concêntricos com centro na origem.

Passo 4

Agora, vamos encontrar as interseções do gráfico com os planos e .
  • Interseção com o plano (onde ):
Substituindo na equação da função:
Essa é uma função que representa uma curva logarítmica no plano .
  • Interseção com o plano (onde ):
Substituindo na equação da função:
Da mesma forma, essa é uma curva logarítmica no plano .

Passo 5

Por fim, vamos fazer um esboço do gráfico da função . Sabemos que:
  • As curvas de nível são círculos no plano , cada um correspondendo a um valor de .
  • As interseções com os planos e são curvas logarítmicas.
O gráfico geral vai se parecer com um paraboloide circular que se abre para cima, mas como é um logaritmo, ele cresce de forma mais lenta conforme nos afastamos da origem.

Resposta

As curvas de nível da função são círculos concêntricos no plano definidos por , onde é uma constante. As interseções do gráfico com os planos e são curvas logarítmicas dadas por e , respectivamente. O esboço do gráfico é um paraboloide circular que se eleva suavemente a partir da origem, com curvas de nível circulares e interseções logarítmicas nos planos e .

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