Uma combinação de dois medicamentos está sendo testada no combate a certa infecção em testes de laboratório pode ser modelada pela função , onde é a dose de primeiro medicamento em centenas de e é a dose do segundo medicamento em centenas de . Determine a dose de cada medicamento para que a duração da infecção seja mínima.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função que modela como duas doses de medicamentos afetam a duração de uma infecção. O objetivo é encontrar quais doses dos medicamentos e deixam a duração da infecção bem curta, ou seja, minimizam essa função. Vamos precisar usar conceitos de cálculo, como derivadas parciais, para achar esses valores.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que para encontrar o mínimo de uma função de duas variáveis, precisamos achar onde as derivadas parciais em relação a e são iguais a zero. Isso significa que vamos derivar a função em relação a e .

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a , que a gente denota por :
Aqui, usamos a regra de derivação para potências e para termos que envolvem .

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , que é :
De novo, aplicamos as regras de derivação para cada termo envolvendo .

Passo 5

Para encontrar o ponto onde a função atinge seu mínimo, igualamos ambas as derivadas a zero:
Agora, temos um sistema de equações que podemos resolver para encontrar e .

Passo 6

Vamos resolver a equação (2) para :
Agora sabemos que é o dobro de .

Passo 7

Substituímos na equação (1):
Então, .

Passo 8

Agora que temos , usamos para encontrar :
Então, .

Resposta

A dose ideal é centenas de miligramas do primeiro medicamento e centenas de miligramas do segundo medicamento para minimizar a duração da infecção.

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