Uma combinação de dois medicamentos está sendo testada no combate a certa infecção em testes de laboratório pode ser modelada pela função
, onde
é a dose de primeiro medicamento em centenas de
e
é a dose do segundo medicamento em centenas de
. Determine a dose de cada medicamento para que a duração da infecção seja mínima.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função que modela como duas doses de medicamentos afetam a duração de uma infecção. O objetivo é encontrar quais doses dos medicamentos
e
deixam a duração da infecção bem curta, ou seja, minimizam essa função. Vamos precisar usar conceitos de cálculo, como derivadas parciais, para achar esses valores.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que para encontrar o mínimo de uma função de duas variáveis, precisamos achar onde as derivadas parciais em relação a
e
são iguais a zero. Isso significa que vamos derivar a função
em relação a
e
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, que a gente denota por
:
Aqui, usamos a regra de derivação para potências e para termos que envolvem
.
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, que é
:
De novo, aplicamos as regras de derivação para cada termo envolvendo
.
Passo 5
Para encontrar o ponto onde a função atinge seu mínimo, igualamos ambas as derivadas a zero:
Agora, temos um sistema de equações que podemos resolver para encontrar
e
.
Passo 6
Vamos resolver a equação (2) para
:
Agora sabemos que
é o dobro de
.
Passo 7
Substituímos
na equação (1):
Então,
.
Passo 8
Agora que temos
, usamos
para encontrar
:
Então,
.
Resposta
A dose ideal é
centenas de miligramas do primeiro medicamento e
centenas de miligramas do segundo medicamento para minimizar a duração da infecção.
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