Considere a equação dos gases ideais
, ou
, onde
é a pressão,
o volume e
a temperatura absoluta.
é a constante dos gases e
o número de moles, que também pode ser considerado constante.
SEM USAR o critério de Euler, diga se a diferencial
deve deve ser exata ou inexata e justifique.
SEM USAR o critério de Euler, diga se a diferencial
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos a equação dos gases ideais, que relaciona pressão (
), volume (
), número de moles (
), a constante dos gases (
) e a temperatura absoluta (
). A equação é dada por:
A pergunta quer saber se a diferencial de pressão (
) é exata ou inexata, sem usar o critério de Euler. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma diferencial exata e como verificar isso passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma diferencial exata. Em cálculo, uma diferencial exata é aquela que pode ser expressa como a derivada total de uma função potencial. Ou seja, existe uma função
tal que:
onde
e
são funções de
e
. Se isso for verdadeiro, então a diferencial é exata. Caso contrário, é inexata.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a expressão da diferencial de
. A partir da equação dos gases ideais:
Vamos derivar
em relação a
e
:
Calculando as derivadas parciais:
Então, a diferencial de
fica:
Passo 4
Para verificar se
é exata, precisamos verificar se as derivadas cruzadas são iguais. Ou seja, se:
Onde
e
.
Calculando:
Neste caso, as derivadas cruzadas são iguais:
Passo 5
Como as derivadas cruzadas são iguais, isso indica que existe uma função potencial
tal que
. Portanto, a diferencial
é exata.
Resposta
A diferencial
é exata.