Considere a equação dos gases ideais P V=n R T, ou P=n R TV, onde P é a pressão, V o volume e T a temperatura absoluta. R é a constante dos gases e n o número de moles, que também pode ser considerado constante.
SEM USAR o critério de Euler, diga se a diferencial d P deve deve ser exata ou inexata e justifique.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos a equação dos gases ideais, que relaciona pressão ( P), volume ( V), número de moles ( n), a constante dos gases ( R) e a temperatura absoluta ( T). A equação é dada por:
P = n R TV
A pergunta quer saber se a diferencial de pressão ( dP) é exata ou inexata, sem usar o critério de Euler. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma diferencial exata e como verificar isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma diferencial exata. Em cálculo, uma diferencial exata é aquela que pode ser expressa como a derivada total de uma função potencial. Ou seja, existe uma função F tal que:
dF = M,dV + N,dT
onde M e N são funções de V e T. Se isso for verdadeiro, então a diferencial é exata. Caso contrário, é inexata.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a expressão da diferencial de P. A partir da equação dos gases ideais:
P = n R TV
Vamos derivar P em relação a V e T:
dP = partial Ppartial V dV + partial Ppartial T dT
Calculando as derivadas parciais:
partial Ppartial V = -n R TV^2
partial Ppartial T = n RV
Então, a diferencial de P fica:
dP = -n R TV^2 dV + n RV dT

Passo 4

Para verificar se dP é exata, precisamos verificar se as derivadas cruzadas são iguais. Ou seja, se:
partial Mpartial T = partial Npartial V
Onde M = -n R TV^2 e N = n RV.
Calculando:
partial Mpartial T = -n RV^2
partial Npartial V = -n RV^2
Neste caso, as derivadas cruzadas são iguais:
-n RV^2 = -n RV^2

Passo 5

Como as derivadas cruzadas são iguais, isso indica que existe uma função potencial F tal que dP = dF. Portanto, a diferencial dP é exata.

Resposta

A diferencial dP é exata.

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