Considere a equação dos gases ideais , ou , onde é a pressão, o volume e a temperatura absoluta. é a constante dos gases e o número de moles, que também pode ser considerado constante.
SEM USAR o critério de Euler, diga se a diferencial deve deve ser exata ou inexata e justifique.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos a equação dos gases ideais, que relaciona pressão ( ), volume ( ), número de moles ( ), a constante dos gases ( ) e a temperatura absoluta ( ). A equação é dada por:
A pergunta quer saber se a diferencial de pressão ( ) é exata ou inexata, sem usar o critério de Euler. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma diferencial exata e como verificar isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma diferencial exata. Em cálculo, uma diferencial exata é aquela que pode ser expressa como a derivada total de uma função potencial. Ou seja, existe uma função tal que:
onde e são funções de e . Se isso for verdadeiro, então a diferencial é exata. Caso contrário, é inexata.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a expressão da diferencial de . A partir da equação dos gases ideais:
Vamos derivar em relação a e :
Calculando as derivadas parciais:
Então, a diferencial de fica:

Passo 4

Para verificar se é exata, precisamos verificar se as derivadas cruzadas são iguais. Ou seja, se:
Onde e .
Calculando:
Neste caso, as derivadas cruzadas são iguais:

Passo 5

Como as derivadas cruzadas são iguais, isso indica que existe uma função potencial tal que . Portanto, a diferencial é exata.

Resposta

A diferencial é exata.

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