Usando integração diretamente no campo elétrico calcule o campo elétrico de um anel de raio
sem espessura no plano
e centro na origem no eixo
. Qual a densidade linear de carga
que garante que a carga total seja
? Usando integração diretamente no potencial calcule o potencial elétrico no eixo
. Mostre que o campo elétrico calculado na primeira parte obedece à relação
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Basicamente, temos um anel carregado no plano
com raio
e queremos calcular o campo elétrico no eixo
e o potencial elétrico nesse mesmo eixo. Para isso, vamos usar integração diretamente no campo elétrico e no potencial elétrico. Vamos precisar entender conceitos de campo elétrico, potencial elétrico, densidade linear de carga e como aplicar integrais nesse contexto.
Passo 2
Primeiro, vamos definir a densidade linear de carga
. A densidade linear de carga é a quantidade de carga por unidade de comprimento no anel. Se o anel tem um comprimento total
(que, para um anel de raio
, é
) e queremos que a carga total seja
, a densidade linear de carga
será:
Passo 3
Agora, vamos calcular o campo elétrico no eixo
usando a integração direta no campo elétrico. Considere um elemento infinitesimal de carga no anel,
. A contribuição desse elemento para o campo elétrico no ponto
no eixo
será na direção
, porque as componentes radiais se cancelam simetricamente.
A distância do elemento
até o ponto
é
. O campo elétrico devido a
é dado por Coulomb:
Substituindo
(já que
):
Integrando de
a
:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos calcular o potencial elétrico
no eixo
usando integração direta no potencial. O potencial devido a um elemento de carga
é:
Integrando de
a
:
Simplificando:
Passo 5
Por último, vamos mostrar que o campo elétrico
calculado na primeira parte está relacionado com o potencial elétrico
pela relação
.
Calculando a derivada do potencial:
Portanto,
O que confirma que nosso cálculo do campo elétrico está de acordo com o potencial elétrico.
Resposta
A densidade linear de carga que garante uma carga total
é
. O campo elétrico no eixo
é dado por:
O potencial elétrico no eixo
é:
Além disso, o campo elétrico obedece à relação
.