Usando integração diretamente no campo elétrico calcule o campo elétrico de um anel de raio sem espessura no plano e centro na origem no eixo . Qual a densidade linear de carga que garante que a carga total seja ? Usando integração diretamente no potencial calcule o potencial elétrico no eixo . Mostre que o campo elétrico calculado na primeira parte obedece à relação .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Basicamente, temos um anel carregado no plano com raio e queremos calcular o campo elétrico no eixo e o potencial elétrico nesse mesmo eixo. Para isso, vamos usar integração diretamente no campo elétrico e no potencial elétrico. Vamos precisar entender conceitos de campo elétrico, potencial elétrico, densidade linear de carga e como aplicar integrais nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos definir a densidade linear de carga . A densidade linear de carga é a quantidade de carga por unidade de comprimento no anel. Se o anel tem um comprimento total (que, para um anel de raio , é ) e queremos que a carga total seja , a densidade linear de carga será:

Passo 3

Agora, vamos calcular o campo elétrico no eixo usando a integração direta no campo elétrico. Considere um elemento infinitesimal de carga no anel, . A contribuição desse elemento para o campo elétrico no ponto no eixo será na direção , porque as componentes radiais se cancelam simetricamente.
A distância do elemento até o ponto é . O campo elétrico devido a é dado por Coulomb:
Substituindo (já que ):
Integrando de a :
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos calcular o potencial elétrico no eixo usando integração direta no potencial. O potencial devido a um elemento de carga é:
Integrando de a :
Simplificando:

Passo 5

Por último, vamos mostrar que o campo elétrico calculado na primeira parte está relacionado com o potencial elétrico pela relação .
Calculando a derivada do potencial:
Portanto,
O que confirma que nosso cálculo do campo elétrico está de acordo com o potencial elétrico.

Resposta

A densidade linear de carga que garante uma carga total é . O campo elétrico no eixo é dado por:
O potencial elétrico no eixo é:
Além disso, o campo elétrico obedece à relação .

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