Usando integração diretamente no campo elétrico calcule o campo elétrico de um anel de raio a sem espessura no plano x y e centro na origem no eixo z. Qual a densidade linear de carga lambda=d Qd ell que garante que a carga total seja Q ? Usando integração diretamente no potencial calcule o potencial elétrico no eixo z. Mostre que o campo elétrico calculado na primeira parte obedece à relação Ez=-partialpartial z phi(z).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Basicamente, temos um anel carregado no plano com raio e queremos calcular o campo elétrico no eixo e o potencial elétrico nesse mesmo eixo. Para isso, vamos usar integração diretamente no campo elétrico e no potencial elétrico. Vamos precisar entender conceitos de campo elétrico, potencial elétrico, densidade linear de carga e como aplicar integrais nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos definir a densidade linear de carga lambda = Qell = Q2pi a . A densidade linear de carga é a quantidade de carga por unidade de comprimento no anel. Se o anel tem um comprimento total (que, para um anel de raio , é ) e queremos que a carga total seja , a densidade linear de carga será:

Passo 3

Agora, vamos calcular o campo elétrico no eixo dEz = 14pivarepsilon0 dq cdot z(a^2 + z^2)^3/2 usando a integração direta no campo elétrico. Considere um elemento infinitesimal de carga no anel, dEz = 14pivarepsilon0 lambda a z dtheta(a^2 + z^2)^3/2 . A contribuição desse elemento para o campo elétrico no ponto Ez = 14pivarepsilon0 lambda a z(a^2 + z^2)^3/2 integral0^2pi dtheta = 14pivarepsilon0 lambda a z(a^2 + z^2)^3/2 cdot 2pi no eixo Ez = lambda a z2varepsilon0 (a^2 + z^2)^3/2 será na direção , porque as componentes radiais se cancelam simetricamente.
A distância do elemento até o ponto é . O campo elétrico devido a é dado por Coulomb:
Substituindo (já que ):
Integrando de a :
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos calcular o potencial elétrico dphi = 14pivarepsilon0 dqraiza^2 + z^2 = 14pivarepsilon0 lambda a dthetaraiza^2 + z^2 no eixo phi(z) = 14pivarepsilon0 lambda araiza^2 + z^2 integral0^2pi dtheta = 14pivarepsilon0 lambda araiza^2 + z^2 cdot 2pi usando integração direta no potencial. O potencial devido a um elemento de carga phi(z) = lambda a2varepsilon0 raiza^2 + z^2 é:
Integrando de a :
Simplificando:

Passo 5

Por último, vamos mostrar que o campo elétrico partial phipartial z = partialpartial z ( lambda a2varepsilon0 raiza^2 + z^2 ) = lambda a2varepsilon0 cdot ( -z(a^2 + z^2)^3/2 ) = -lambda a z2varepsilon0 (a^2 + z^2)^3/2 calculado na primeira parte está relacionado com o potencial elétrico Ez = -partial phipartial z pela relação .
Calculando a derivada do potencial:
Portanto,
O que confirma que nosso cálculo do campo elétrico está de acordo com o potencial elétrico.

Resposta

A densidade linear de carga que garante uma carga total Ez = lambda a z2varepsilon0 (a^2 + z^2)^3/2 é phi(z) = lambda a2varepsilon0 raiza^2 + z^2 . O campo elétrico no eixo é dado por:
O potencial elétrico no eixo é:
Além disso, o campo elétrico obedece à relação .

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