Regra de L7-66 Encontre o limite. Use a Regra de l39.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar o limite de uma função quando se aproxima de 0. A função é:
Vamos usar a Regra de L’Hôpital para resolver isso. Essa regra é útil quando temos limites que resultam em formas indeterminadas, como ou . Primeiro, precisamos verificar se o limite realmente resulta em uma forma indeterminada e, se sim, aplicar a regra.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir na função para ver o que acontece:
Então, temos a forma , que é uma forma indeterminada. Isso significa que podemos aplicar a Regra de L’Hôpital, que nos permite derivar o numerador e o denominador separadamente e então calcular o limite novamente.

Passo 3

Vamos derivar o numerador e o denominador:
Numerador:
Denominador:
Agora, aplicamos a Regra de L’Hôpital substituindo as derivadas no lugar original:

Passo 4

Vamos verificar novamente substituindo :
Ainda temos a forma , então aplicamos a Regra de L’Hôpital mais uma vez.

Passo 5

Derivamos novamente o numerador e o denominador:
Numerador:
Denominador:
Aplicando a Regra de L’Hôpital novamente:

Passo 6

Substituindo de novo:
Mais uma vez, temos . Vamos aplicar a Regra de L’Hôpital pela terceira vez.

Passo 7

Derivamos novamente o numerador e o denominador:
Numerador:
Denominador:
Agora, aplicamos a Regra de L’Hôpital pela terceira vez:

Passo 8

Substituindo :
Ainda é , então aplicamos a Regra de L’Hôpital mais uma vez.

Passo 9

Derivamos novamente o numerador e o denominador:
Numerador:
Denominador:
Aplicando a Regra de L’Hôpital pela quarta vez:

Passo 10

Agora, ao substituir :

Resposta

O limite é .

Exercícios relacionados

Determine a equação do plano tangente ao gráfico da função no ponto dado.
Começando com a fórmula , válida para , represente cada função por uma série de potências de . Em cada caso determine o raio e o intervalo de convergência.
.
Represente em série de potências de e, derivando o resultado, prove que
Regra de L7-66 Encontre o limite. Use a Regra de l57.