Regra de L7-66 Encontre o limite. Use a Regra de l39.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar o limite de uma função quando
se aproxima de 0. A função é:
Vamos usar a Regra de L’Hôpital para resolver isso. Essa regra é útil quando temos limites que resultam em formas indeterminadas, como
ou
. Primeiro, precisamos verificar se o limite realmente resulta em uma forma indeterminada e, se sim, aplicar a regra.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir
na função para ver o que acontece:
Então, temos a forma
, que é uma forma indeterminada. Isso significa que podemos aplicar a Regra de L’Hôpital, que nos permite derivar o numerador e o denominador separadamente e então calcular o limite novamente.
Passo 3
Vamos derivar o numerador e o denominador:
Numerador:
Denominador:
Agora, aplicamos a Regra de L’Hôpital substituindo as derivadas no lugar original:
Passo 4
Vamos verificar novamente substituindo
:
Ainda temos a forma
, então aplicamos a Regra de L’Hôpital mais uma vez.
Passo 5
Derivamos novamente o numerador e o denominador:
Numerador:
Denominador:
Aplicando a Regra de L’Hôpital novamente:
Passo 6
Substituindo
de novo:
Mais uma vez, temos
. Vamos aplicar a Regra de L’Hôpital pela terceira vez.
Passo 7
Derivamos novamente o numerador e o denominador:
Numerador:
Denominador:
Agora, aplicamos a Regra de L’Hôpital pela terceira vez:
Passo 8
Substituindo
:
Ainda é
, então aplicamos a Regra de L’Hôpital mais uma vez.
Passo 9
Derivamos novamente o numerador e o denominador:
Numerador:
Denominador:
Aplicando a Regra de L’Hôpital pela quarta vez:
Passo 10
Agora, ao substituir
:
Resposta
O limite é
.
Exercícios relacionados
Determine a equação do plano tangente ao gráfico da função
no ponto dado.
Começando com a fórmula
, válida para
, represente cada função por uma série de potências de
. Em cada caso determine o raio e o intervalo de convergência.
.
Represente
em série de potências de
e, derivando o resultado, prove que
Regra de L7-66 Encontre o limite. Use a Regra de l57.