Regra de L7-66 Encontre o limite. Use a Regra de l39. lim x 0 cos x-1+12 x^2x^4

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar o limite de uma função quando limx 0 cos x - 1 + 12x^2x^4 se aproxima de 0. A função é:
Vamos usar a Regra de L’Hôpital para resolver isso. Essa regra é útil quando temos limites que resultam em formas indeterminadas, como ou . Primeiro, precisamos verificar se o limite realmente resulta em uma forma indeterminada e, se sim, aplicar a regra.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir cos 0 - 1 + 12(0)^2 = 1 - 1 + 0 = 0 na função para ver o que acontece:
x^4 = 0^4 = 0
Então, temos a forma , que é uma forma indeterminada. Isso significa que podemos aplicar a Regra de L’Hôpital, que nos permite derivar o numerador e o denominador separadamente e então calcular o limite novamente.

Passo 3

Vamos derivar o numerador e o denominador:
Numerador:
ddx ( cos x - 1 + 12x^2 ) = -sin x + x
Denominador:
ddx ( x^4 ) = 4x^3
Agora, aplicamos a Regra de L’Hôpital substituindo as derivadas no lugar original:
limx 0 -sin x + x4x^3

Passo 4

Vamos verificar novamente substituindo -sin 0 + 0 = 0 + 0 = 0 :
4(0)^3 = 0
Ainda temos a forma , então aplicamos a Regra de L’Hôpital mais uma vez.

Passo 5

Derivamos novamente o numerador e o denominador:
Numerador:
ddx ( -sin x + x ) = -cos x + 1
Denominador:
ddx ( 4x^3 ) = 12x^2
Aplicando a Regra de L’Hôpital novamente:
limx 0 -cos x + 112x^2

Passo 6

Substituindo -cos 0 + 1 = -1 + 1 = 0 de novo:
12(0)^2 = 0
Mais uma vez, temos . Vamos aplicar a Regra de L’Hôpital pela terceira vez.

Passo 7

Derivamos novamente o numerador e o denominador:
Numerador:
ddx ( -cos x + 1 ) = sin x
Denominador:
ddx ( 12x^2 ) = 24x
Agora, aplicamos a Regra de L’Hôpital pela terceira vez:
limx 0 sin x24x

Passo 8

Substituindo sin 0 = 0 :
24 cdot 0 = 0
Ainda é , então aplicamos a Regra de L’Hôpital mais uma vez.

Passo 9

Derivamos novamente o numerador e o denominador:
Numerador:
ddx ( sin x ) = cos x
Denominador:
ddx ( 24x ) = 24
Aplicando a Regra de L’Hôpital pela quarta vez:
limx 0 cos x24

Passo 10

Agora, ao substituir cos 0 = 1 :
limx 0 124 = 124

Resposta

O limite é .

Exercícios relacionados