Começando com a fórmula
, válida para
, represente cada função por uma série de potências de
. Em cada caso determine o raio e o intervalo de convergência.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a função
e precisamos representá-la como uma série de potências em
. Para isso, vamos usar a fórmula básica que você já conhece:
, válida para
. Além disso, vamos descobrir o raio e o intervalo de convergência dessa nova série.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a série
é uma série geométrica. Mas nossa função é
, que é uma derivada da série geométrica. Para transformar nossa função nessa forma, podemos usar a técnica de derivação termo a termo das séries.
Passo 3
Vamos derivar a série
em relação a
:
Multiplicando ambos os lados por
para ajustar os índices:
Passo 4
Agora, vamos derivar novamente essa nova série para chegar em
:
Por outro lado, derivando a série termo a termo:
Multiplicando novamente por
:
Dividindo ambos os lados por 2:
Mas queremos
, então multiplicamos ambos os lados por 1 e ajustamos os coeficientes:
Passo 5
Então, a série de potências para
é:
Isso é válido para o mesmo intervalo de convergência que a série original, ou seja,
.
Resposta
A representação em série de potências de
é:
O raio de convergência é
e o intervalo de convergência é
.
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Começando com a fórmula
, válida para
, represente cada função por uma série de potências de
. Em cada caso determine o raio e o intervalo de convergência.
Começando com a fórmula
, válida para
, represente cada função por uma série de potências de
. Em cada caso determine o raio e o intervalo de convergência.
Represente as seguintes funções em séries de potências de
: