Começando com a fórmula , válida para , represente cada função por uma série de potências de . Em cada caso determine o raio e o intervalo de convergência.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos representá-la como uma série de potências em . Para isso, vamos usar a fórmula básica que você já conhece: , válida para . Além disso, vamos descobrir o raio e o intervalo de convergência dessa nova série.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a série é uma série geométrica. Mas nossa função é , que é uma derivada da série geométrica. Para transformar nossa função nessa forma, podemos usar a técnica de derivação termo a termo das séries.

Passo 3

Vamos derivar a série em relação a :
Multiplicando ambos os lados por para ajustar os índices:

Passo 4

Agora, vamos derivar novamente essa nova série para chegar em :
Por outro lado, derivando a série termo a termo:
Multiplicando novamente por :
Dividindo ambos os lados por 2:
Mas queremos , então multiplicamos ambos os lados por 1 e ajustamos os coeficientes:

Passo 5

Então, a série de potências para é:
Isso é válido para o mesmo intervalo de convergência que a série original, ou seja, .

Resposta

A representação em série de potências de é:
O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .

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Começando com a fórmula , válida para , represente cada função por uma série de potências de . Em cada caso determine o raio e o intervalo de convergência.
Começando com a fórmula , válida para , represente cada função por uma série de potências de . Em cada caso determine o raio e o intervalo de convergência.
Represente as seguintes funções em séries de potências de :