Começando com a fórmula 11-x=sumn=0^infty x^n, válida para |x|<1, represente cada função por uma série de potências de x. Em cada caso determine o raio e o intervalo de convergência.
1(1-x)^3

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a função 1(1 - x)^3 e precisamos representá-la como uma série de potências em x. Para isso, vamos usar a fórmula básica que você já conhece: 11 - x = sumn=0^infty x^n, válida para |x| < 1. Além disso, vamos descobrir o raio e o intervalo de convergência dessa nova série.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a série 11 - x é uma série geométrica. Mas nossa função é 1(1 - x)^3, que é uma derivada da série geométrica. Para transformar nossa função nessa forma, podemos usar a técnica de derivação termo a termo das séries.

Passo 3

Vamos derivar a série 11 - x em relação a x:
ddx(11 - x) = 1(1 - x)^2 = sumn=0^infty n x^n-1
Multiplicando ambos os lados por x para ajustar os índices:
x(1 - x)^2 = sumn=0^infty n x^n

Passo 4

Agora, vamos derivar novamente essa nova série para chegar em 1(1 - x)^3:
ddx(x(1 - x)^2) = 2x + (1 - x)(-2)(1 - x)^4 = 2(1 - x)^3
Por outro lado, derivando a série termo a termo:
ddx(sumn=0^infty n x^n) = sumn=0^infty n^2 x^n-1
Multiplicando novamente por x:
2x(1 - x)^3 = sumn=0^infty n^2 x^n
Dividindo ambos os lados por 2:
x(1 - x)^3 = sumn=0^infty n^22 x^n
Mas queremos 1(1 - x)^3, então multiplicamos ambos os lados por 1 e ajustamos os coeficientes:
1(1 - x)^3 = sumn=0^infty (n+1)(n+2)2 x^n

Passo 5

Então, a série de potências para 1(1 - x)^3 é:
1(1 - x)^3 = sumn=0^infty (n+1)(n+2)2 x^n
Isso é válido para o mesmo intervalo de convergência que a série original, ou seja, |x| < 1.

Resposta

A representação em série de potências de 1(1 - x)^3 é:
1(1 - x)^3 = sumn=0^infty (n+1)(n+2)2 x^n
O raio de convergência é R = 1 e o intervalo de convergência é |x| < 1.

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