Começando com a fórmula , válida para , represente cada função por uma série de potências de . Em cada caso determine o raio e o intervalo de convergência.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para representarmos a função como uma série de potências em . Para isso, vamos usar a fórmula que já conhecemos: , que vale quando . Além dessa fórmula, vamos precisar entender como manipular séries e derivadas para adaptar a fórmula ao nosso problema.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função que queremos representar. Observe que pode ser visto como . Mas uma maneira mais direta é perceber que podemos reescrever a função original:
No entanto, para facilitar, vamos focar apenas em e depois adicionar o termo multiplicando a série resultante.

Passo 3

Sabemos que . Para encontrar , podemos derivar ambos os lados dessa equação em relação a :
Isso nos dá:
Multiplicando ambos os lados por , temos:
Portanto:

Passo 4

Agora, queremos . Substituindo por na série que acabamos de encontrar, temos:

Passo 5

Lembrando que nossa função original é , podemos agora multiplicar a série que encontramos por :
Distribuindo na série:
Podemos reescrever a segunda soma mudando o índice para alinhar os termos:
Juntando as duas séries:

Passo 6

Então, a série de potências que representa é:

Passo 7

Agora, vamos determinar o raio e o intervalo de convergência. A série original converge para . Quando substituímos por , temos que , que simplifica para . Portanto, o raio de convergência é 1, e o intervalo de convergência é .

Resposta

A representação em série de potências de é:
O raio de convergência é 1 e o intervalo de convergência é .

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13.
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