Começando com a fórmula
, válida para
, represente cada função por uma série de potências de
. Em cada caso determine o raio e o intervalo de convergência.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para representarmos a função
como uma série de potências em
. Para isso, vamos usar a fórmula que já conhecemos:
, que vale quando
. Além dessa fórmula, vamos precisar entender como manipular séries e derivadas para adaptar a fórmula ao nosso problema.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função que queremos representar. Observe que
pode ser visto como
. Mas uma maneira mais direta é perceber que podemos reescrever a função original:
No entanto, para facilitar, vamos focar apenas em
e depois adicionar o termo
multiplicando a série resultante.
Passo 3
Sabemos que
. Para encontrar
, podemos derivar ambos os lados dessa equação em relação a
:
Isso nos dá:
Multiplicando ambos os lados por
, temos:
Portanto:
Passo 4
Agora, queremos
. Substituindo
por
na série que acabamos de encontrar, temos:
Passo 5
Lembrando que nossa função original é
, podemos agora multiplicar a série que encontramos por
:
Distribuindo
na série:
Podemos reescrever a segunda soma mudando o índice para alinhar os termos:
Juntando as duas séries:
Passo 6
Então, a série de potências que representa
é:
Passo 7
Agora, vamos determinar o raio e o intervalo de convergência. A série original
converge para
. Quando substituímos
por
, temos que
, que simplifica para
. Portanto, o raio de convergência é 1, e o intervalo de convergência é
.
Resposta
A representação em série de potências de
é:
O raio de convergência é 1 e o intervalo de convergência é
.
Exercícios relacionados
Começando com a fórmula
, válida para
, represente cada função por uma série de potências de
. Em cada caso determine o raio e o intervalo de convergência.
Determinar a aproximação linear das seguintes funções, no ponto dado.
13.
13.
Começando com a fórmula
, válida para
, represente cada função por uma série de potências de
. Em cada caso determine o raio e o intervalo de convergência.