Começando com a fórmula 11-x=sumn=0^infty x^n, válida para |x|<1, represente cada função por uma série de potências de x. Em cada caso determine o raio e o intervalo de convergência.
1+x^2(1-x^2)^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para representarmos a função como uma série de potências em . Para isso, vamos usar a fórmula que já conhecemos: , que vale quando . Além dessa fórmula, vamos precisar entender como manipular séries e derivadas para adaptar a fórmula ao nosso problema.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função que queremos representar. Observe que 1 + x^2(1 - x^2)^2 = 1(1 - x^2)^2 + x^2(1 - x^2)^2 pode ser visto como . Mas uma maneira mais direta é perceber que podemos reescrever a função original:
No entanto, para facilitar, vamos focar apenas em e depois adicionar o termo multiplicando a série resultante.

Passo 3

Sabemos que ddx(11 - x) = ddx(sumn=0^infty x^n) . Para encontrar 1(1 - x)^2 = sumn=0^infty n x^n-1 , podemos derivar ambos os lados dessa equação em relação a x(1 - x)^2 = sumn=0^infty n x^n :
1(1 - x)^2 = sumn=0^infty (n+1) x^n
Isso nos dá:
Multiplicando ambos os lados por , temos:
Portanto:

Passo 4

Agora, queremos 1(1 - x^2)^2 = sumn=0^infty (n+1) (x^2)^n = sumn=0^infty (n+1) x^2n . Substituindo por na série que acabamos de encontrar, temos:

Passo 5

Lembrando que nossa função original é 1 + x^2(1 - x^2)^2 = (1 + x^2) sumn=0^infty (n+1) x^2n , podemos agora multiplicar a série que encontramos por sumn=0^infty (n+1) x^2n + sumn=0^infty (n+1) x^2n + 2 :
sumn=0^infty (n+1) x^2n + sumn=1^infty n x^2n
Distribuindo sumn=0^infty (2n + 1) x^2n na série:
Podemos reescrever a segunda soma mudando o índice para alinhar os termos:
Juntando as duas séries:

Passo 6

Então, a série de potências que representa 1 + x^2(1 - x^2)^2 = sumn=0^infty (2n + 1) x^2n é:

Passo 7

Agora, vamos determinar o raio e o intervalo de convergência. A série original converge para . Quando substituímos por , temos que , que simplifica para . Portanto, o raio de convergência é 1, e o intervalo de convergência é .

Resposta

A representação em série de potências de 1 + x^2(1 - x^2)^2 = sumn=0^infty (2n + 1) x^2n é:
O raio de convergência é 1 e o intervalo de convergência é .

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