Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que envolve somar uma série infinita:
A matéria aqui é sobre séries infinitas e manipulação de termos para simplificar a soma. A gente vai precisar entender como reescrever os termos da série de um jeito que facilite a soma.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o termo geral da série:
. Nosso objetivo é simplificar esse termo para facilitar a soma. Sabemos que
, então podemos reescrever o termo assim:
Mas isso ainda não ajuda muito. Precisamos de outra estratégia.
Passo 3
Uma técnica útil em séries é tentar decompor o termo em partes que se cancelem quando somamos os termos. Vamos tentar expressar
como a diferença de dois termos:
Vamos verificar se isso está correto:
Então, está certinho!
Passo 4
Agora que conseguimos escrever o termo geral como
, vamos substituir isso na soma original:
Isso cria uma série telescópica, onde muitos termos vão se cancelar.
Passo 5
Vamos ver como os termos se comportam:
Para
:
Para
:
Para
:
E assim por diante…
Passo 6
Observamos que cada
cancela com o próximo
. Assim, tudo que sobra é o primeiro termo da primeira fração e o último termo “vai para o infinito”:
Passo 7
Sabemos que
, porque o fatorial cresce muito rápido e o inverso dele tende a zero.
Então, temos:
Resposta
A soma da série infinita é igual a 1.