sumn=1^infty n(n+1)!=1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que envolve somar uma série infinita:
sumn=1^infty n(n+1)!=1
A matéria aqui é sobre séries infinitas e manipulação de termos para simplificar a soma. A gente vai precisar entender como reescrever os termos da série de um jeito que facilite a soma.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o termo geral da série: n(n+1)!. Nosso objetivo é simplificar esse termo para facilitar a soma. Sabemos que (n+1)! = (n+1) times n!, então podemos reescrever o termo assim:
n(n+1)! = n(n+1) times n! = 1(n)! times nn+1
Mas isso ainda não ajuda muito. Precisamos de outra estratégia.

Passo 3

Uma técnica útil em séries é tentar decompor o termo em partes que se cancelem quando somamos os termos. Vamos tentar expressar n(n+1)! como a diferença de dois termos:
n(n+1)! = 1n! - 1(n+1)!
Vamos verificar se isso está correto:
1n! - 1(n+1)! = (n+1) - 1(n+1)! = n(n+1)!
Então, está certinho!

Passo 4

Agora que conseguimos escrever o termo geral como 1n! - 1(n+1)!, vamos substituir isso na soma original:
sumn=1^infty ( 1n! - 1(n+1)! )
Isso cria uma série telescópica, onde muitos termos vão se cancelar.

Passo 5

Vamos ver como os termos se comportam:
Para n = 1:
11! - 12!
Para n = 2:
12! - 13!
Para n = 3:
13! - 14!
E assim por diante…

Passo 6

Observamos que cada 1(n+1)! cancela com o próximo 1(n+1)!. Assim, tudo que sobra é o primeiro termo da primeira fração e o último termo “vai para o infinito”:
11! - limn to infty 1(n+1)!

Passo 7

Sabemos que limn to infty 1(n+1)! = 0, porque o fatorial cresce muito rápido e o inverso dele tende a zero.
Então, temos:
11! - 0 = 1

Resposta

A soma da série infinita é igual a 1.

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