Represente as seguintes funções em séries de potências de
:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente representar a função
como uma série de potências de
. Isso significa que queremos escrever essa função como uma soma infinita de termos envolvendo potências de
. Para fazer isso, vamos usar a série de potências conhecida da função exponencial
, adaptando-a para o nosso caso.
Passo 2
Primeiro, lembre-se que a série de potências para
é dada por:
Essa é uma expressão que soma infinitos termos, onde cada termo é
, e
significa fatorial de
.
Passo 3
Agora, no nosso problema, temos
em vez de
. Para adaptar a série, vamos substituir
por
na série original. Isso nos dá:
Aqui, cada termo da série agora tem
no numerador.
Passo 4
Vamos simplificar
. Sabemos que
. Substituindo isso na série, temos:
Essa é a representação da função como uma série de potências de
, onde os termos envolvem
elevado a potências pares multiplicadas por
e divididas por
.
Resposta
A série de potências de
é:
Exercícios relacionados
Começando com a fórmula
, válida para
, represente cada função por uma série de potências de
. Em cada caso determine o raio e o intervalo de convergência.
Represente as seguintes funções em séries de potências de
:
Dados
e
e
determinar: