Represente as seguintes funções em séries de potências de :

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente representar a função como uma série de potências de . Isso significa que queremos escrever essa função como uma soma infinita de termos envolvendo potências de . Para fazer isso, vamos usar a série de potências conhecida da função exponencial , adaptando-a para o nosso caso.

Passo 2

Primeiro, lembre-se que a série de potências para é dada por:
Essa é uma expressão que soma infinitos termos, onde cada termo é , e significa fatorial de .

Passo 3

Agora, no nosso problema, temos em vez de . Para adaptar a série, vamos substituir por na série original. Isso nos dá:
Aqui, cada termo da série agora tem no numerador.

Passo 4

Vamos simplificar . Sabemos que . Substituindo isso na série, temos:
Essa é a representação da função como uma série de potências de , onde os termos envolvem elevado a potências pares multiplicadas por e divididas por .

Resposta

A série de potências de é:

Exercícios relacionados

Começando com a fórmula , válida para , represente cada função por uma série de potências de . Em cada caso determine o raio e o intervalo de convergência.
Represente as seguintes funções em séries de potências de :
Dados
e
determinar: