Verifica-se que a série de Taylor da função
em torno de
é:
As somas parciais
podem ser usadas para calcular aproximações para o valor de
de dois modos:
© Compare estes dois procedimentos com
. Compare também seus resultados com o valor de
da calculadora.
© Compare estes dois procedimentos com
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem a série de Taylor da função
em torno de
:
A questão fala sobre as somas parciais dessa série, que são dadas por
.
O que precisamos fazer é usar essas somas parciais para calcular aproximações do valor de
de dois jeitos diferentes, com
. Depois, comparar esses resultados com o valor que a calculadora dá para
.
Vamos precisar entender como calcular essas somas parciais e como comparar os resultados.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma soma parcial
. Basicamente, é a soma dos primeiros
termos da série de Taylor. Para calcular
, vamos substituir
na série:
Como a série é infinita, a gente não consegue somar todos os termos. Por isso, a gente usa a soma parcial
para aproximar
.
Passo 3
Agora, vamos calcular
usando os dois procedimentos mencionados.
Procedimento 1: Calcular diretamente a soma dos primeiros 100 termos da série para
.
Isso significa que vamos somar:
Isso pode ser feito usando uma calculadora ou um software que consiga lidar com grandes somas.
Procedimento 2: Usar uma fórmula alternativa ou uma técnica para melhorar a precisão ou a rapidez do cálculo. Uma abordagem comum é usar a identidade
.
Então, podemos calcular
usando a série de Taylor para
:
E depois invertermos o resultado para obter
:
Essa abordagem pode ser útil para comparar a precisão e a eficiência dos cálculos.
Passo 4
Vamos então calcular os dois procedimentos:
Procedimento 1:
Calculando isso, obtemos um valor aproximado para
.
Procedimento 2:
Primeiro, calculamos
:
Depois, invertemos o resultado:
Passo 5
Agora, vamos comparar os resultados obtidos pelos dois procedimentos:
-
Procedimento 1: O valor direto de
para . -
Procedimento 2: O valor de
, onde é a soma dos primeiros 100 termos para .
Além disso, vamos comparar esses resultados com o valor real de
obtido na calculadora, que é aproximadamente:
Passo 6
Após os cálculos, encontramos:
-
Procedimento 1:
-
Procedimento 2:
Ambos os procedimentos fornecem uma aproximação muito próxima ao valor real de
, que é
na calculadora.
Resposta
Ambos os procedimentos, ao calcular
diretamente para
e ao calcular
para
, fornecem aproximações de
que são iguais e coincidem exatamente com o valor da calculadora:
.
Exercícios relacionados
Considere a integral abaixo:
Fazendo uso da integral por partes obtém-se a recorrência:
© Sabendo-se que
, compare os dois resultados e verifique em qual deles o erro é maior. Qual é a melhor maneira de calcular? Justifique a resposta.
Usando a série de Taylor, determine o valor aproximado e o limitante superior do erro, utilizando 4 dígitos significativos, para o cálculo de sen
, em torno do ponto
, com polinômios de grau
(b)
(b)
Começando com a fórmula
, válida para
, represente cada função por uma série de potências de
. Em cada caso determine o raio e o intervalo de convergência.
(h)
(h)
Usando a série de Taylor, determine o valor aproximado e o limitante superior do erro, utilizando 4 dígitos significativos, para o cálculo de sen
, em torno do ponto
, com polinômios de grau
(a)
(a)