Verifica-se que a série de Taylor da função em torno de é:
As somas parciais podem ser usadas para calcular aproximações para o valor de de dois modos:
© Compare estes dois procedimentos com . Compare também seus resultados com o valor de da calculadora.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem a série de Taylor da função em torno de :
A questão fala sobre as somas parciais dessa série, que são dadas por .
O que precisamos fazer é usar essas somas parciais para calcular aproximações do valor de de dois jeitos diferentes, com . Depois, comparar esses resultados com o valor que a calculadora dá para .
Vamos precisar entender como calcular essas somas parciais e como comparar os resultados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma soma parcial . Basicamente, é a soma dos primeiros termos da série de Taylor. Para calcular , vamos substituir na série:
Como a série é infinita, a gente não consegue somar todos os termos. Por isso, a gente usa a soma parcial para aproximar .

Passo 3

Agora, vamos calcular usando os dois procedimentos mencionados.
Procedimento 1: Calcular diretamente a soma dos primeiros 100 termos da série para .
Isso significa que vamos somar:
Isso pode ser feito usando uma calculadora ou um software que consiga lidar com grandes somas.
Procedimento 2: Usar uma fórmula alternativa ou uma técnica para melhorar a precisão ou a rapidez do cálculo. Uma abordagem comum é usar a identidade .
Então, podemos calcular usando a série de Taylor para :
E depois invertermos o resultado para obter :
Essa abordagem pode ser útil para comparar a precisão e a eficiência dos cálculos.

Passo 4

Vamos então calcular os dois procedimentos:
Procedimento 1:
Calculando isso, obtemos um valor aproximado para .
Procedimento 2:
Primeiro, calculamos :
Depois, invertemos o resultado:

Passo 5

Agora, vamos comparar os resultados obtidos pelos dois procedimentos:
  • Procedimento 1: O valor direto de para .
  • Procedimento 2: O valor de , onde é a soma dos primeiros 100 termos para .
Além disso, vamos comparar esses resultados com o valor real de obtido na calculadora, que é aproximadamente:

Passo 6

Após os cálculos, encontramos:
  • Procedimento 1:
  • Procedimento 2:
Ambos os procedimentos fornecem uma aproximação muito próxima ao valor real de , que é na calculadora.

Resposta

Ambos os procedimentos, ao calcular diretamente para e ao calcular para , fornecem aproximações de que são iguais e coincidem exatamente com o valor da calculadora: .

Exercícios relacionados

Considere a integral abaixo:
Fazendo uso da integral por partes obtém-se a recorrência:
© Sabendo-se que , compare os dois resultados e verifique em qual deles o erro é maior. Qual é a melhor maneira de calcular? Justifique a resposta.
Usando a série de Taylor, determine o valor aproximado e o limitante superior do erro, utilizando 4 dígitos significativos, para o cálculo de sen , em torno do ponto , com polinômios de grau
(b)
Começando com a fórmula , válida para , represente cada função por uma série de potências de . Em cada caso determine o raio e o intervalo de convergência.
(h)
Usando a série de Taylor, determine o valor aproximado e o limitante superior do erro, utilizando 4 dígitos significativos, para o cálculo de sen , em torno do ponto , com polinômios de grau
(a)