Verifica-se que a série de Taylor da função e^x em torno de x0=0 é:
e^x=sumi=0^infty x^ii!=1+x+x^22!+x^33!+ldots+x^nn!+ldots
As somas parciais Sn=sumi=0^n x^ii! podem ser usadas para calcular aproximações para o valor de e^-5 de dois modos:
© Compare estes dois procedimentos com n=100. Compare também seus resultados com o valor de e^-5 da calculadora.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem a série de Taylor da função e^x = sumi=0^infty x^ii! = 1 + x + x^22! + x^33! + ldots + x^nn! + ldots em torno de :
A questão fala sobre as somas parciais dessa série, que são dadas por .
O que precisamos fazer é usar essas somas parciais para calcular aproximações do valor de de dois jeitos diferentes, com . Depois, comparar esses resultados com o valor que a calculadora dá para .
Vamos precisar entender como calcular essas somas parciais e como comparar os resultados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma soma parcial e^-5 = sumi=0^infty (-5)^ii! . Basicamente, é a soma dos primeiros termos da série de Taylor. Para calcular , vamos substituir na série:
Como a série é infinita, a gente não consegue somar todos os termos. Por isso, a gente usa a soma parcial para aproximar .

Passo 3

Agora, vamos calcular S100 = sumi=0^100 (-5)^ii! usando os dois procedimentos mencionados.
Procedimento 1: Calcular diretamente a soma dos primeiros 100 termos da série para e^5 = sumi=0^100 5^ii! .
Isso significa que vamos somar:
e^-5 = 1e^5
Isso pode ser feito usando uma calculadora ou um software que consiga lidar com grandes somas.
Procedimento 2: Usar uma fórmula alternativa ou uma técnica para melhorar a precisão ou a rapidez do cálculo. Uma abordagem comum é usar a identidade .
Então, podemos calcular usando a série de Taylor para :
E depois invertermos o resultado para obter :
Essa abordagem pode ser útil para comparar a precisão e a eficiência dos cálculos.

Passo 4

Vamos então calcular os dois procedimentos:
Procedimento 1:
S100 = sumi=0^100 (-5)^ii!
Calculando isso, obtemos um valor aproximado para S100^+ = sumi=0^100 5^ii! .
Procedimento 2:
Primeiro, calculamos e^-5 = 1S100^+ :
Depois, invertemos o resultado:

Passo 5

Agora, vamos comparar os resultados obtidos pelos dois procedimentos:
  • Procedimento 1: O valor direto de e^-5 approx 0,006737947 para .
  • Procedimento 2: O valor de , onde é a soma dos primeiros 100 termos para .
Além disso, vamos comparar esses resultados com o valor real de obtido na calculadora, que é aproximadamente:

Passo 6

Após os cálculos, encontramos:
  • Procedimento 1:
  • Procedimento 2:
Ambos os procedimentos fornecem uma aproximação muito próxima ao valor real de , que é na calculadora.

Resposta

Ambos os procedimentos, ao calcular diretamente para e ao calcular para , fornecem aproximações de que são iguais e coincidem exatamente com o valor da calculadora: .

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