(a) Começando com a série geométrica sumn=0^infty x^n, encontre a soma da série
sumn=1^infty n x^n-1, |x|<1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma série geométrica clássica: sumn=0^infty x^n. A tarefa é encontrar a soma da série sumn=1^infty n x^n-1, onde sabemos que |x| < 1. Para resolver isso, vamos usar conceitos de séries geométricas e derivadas, tudo explicado passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a soma da série geométrica que começa em n=0:
sumn=0^infty x^n = 11 - x, |x| < 1
Essa fórmula é fundamental porque nos dá a soma de uma série infinita onde cada termo é x elevado a uma potência crescente de n.

Passo 3

Agora, queremos trabalhar com a série sumn=1^infty n x^n-1. Perceba que isso é semelhante à derivada da série geométrica original. Vamos derivar ambos os lados da equação da série geométrica em relação a x.

Passo 4

Derivando a série geométrica termo a termo:
ddx ( sumn=0^infty x^n ) = sumn=0^infty ddx x^n = sumn=1^infty n x^n-1
Note que o termo para n=0 desaparece porque a derivada de x^0 é zero.

Passo 5

Agora, vamos derivar a expressão fechada da série geométrica:
ddx ( 11 - x ) = 1(1 - x)^2
Então, igualamos as duas derivadas:
sumn=1^infty n x^n-1 = 1(1 - x)^2

Resposta

A soma da série sumn=1^infty n x^n-1 para |x| < 1 é 1(1 - x)^2.

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