(a) Começando com a série geométrica
, encontre a soma da série
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma série geométrica clássica:
. A tarefa é encontrar a soma da série
, onde sabemos que
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de séries geométricas e derivadas, tudo explicado passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a soma da série geométrica que começa em
:
Essa fórmula é fundamental porque nos dá a soma de uma série infinita onde cada termo é
elevado a uma potência crescente de
.
Passo 3
Agora, queremos trabalhar com a série
. Perceba que isso é semelhante à derivada da série geométrica original. Vamos derivar ambos os lados da equação da série geométrica em relação a
.
Passo 4
Derivando a série geométrica termo a termo:
Note que o termo para
desaparece porque a derivada de
é zero.
Passo 5
Agora, vamos derivar a expressão fechada da série geométrica:
Então, igualamos as duas derivadas:
Resposta
A soma da série
para
é
.
Exercícios relacionados
Verifique que
Sugestão: substitua
por
em
.
Os termos da série
são definidos recursivamente. Determine se a série converge ou diverge:
Encontre
e expresse
em função de
. Determine se
é monótona e limitada. Calcule
.
(b)
(b)
Um tanque contém 1.000 litros ( L ) de uma solução que consiste de 100 kg de sal dissolvido em água. Água pura é bombeada para dentro do tanque a uma taxa de
, e a mistura - sempre mexida para mantêla uniforme - é bombeada para fora à mesma taxa. Quanto tempo levará para que só 10 kg de sal permaneçam no tanque?