(a) Começando com a série geométrica , encontre a soma da série

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma série geométrica clássica: . A tarefa é encontrar a soma da série , onde sabemos que . Para resolver isso, vamos usar conceitos de séries geométricas e derivadas, tudo explicado passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a soma da série geométrica que começa em :
Essa fórmula é fundamental porque nos dá a soma de uma série infinita onde cada termo é elevado a uma potência crescente de .

Passo 3

Agora, queremos trabalhar com a série . Perceba que isso é semelhante à derivada da série geométrica original. Vamos derivar ambos os lados da equação da série geométrica em relação a .

Passo 4

Derivando a série geométrica termo a termo:
Note que o termo para desaparece porque a derivada de é zero.

Passo 5

Agora, vamos derivar a expressão fechada da série geométrica:
Então, igualamos as duas derivadas:

Resposta

A soma da série para é .

Exercícios relacionados

Verifique que
Sugestão: substitua por em .
Os termos da série são definidos recursivamente. Determine se a série converge ou diverge:
Encontre e expresse em função de . Determine se é monótona e limitada. Calcule .
(b)
Um tanque contém 1.000 litros ( L ) de uma solução que consiste de 100 kg de sal dissolvido em água. Água pura é bombeada para dentro do tanque a uma taxa de , e a mistura - sempre mexida para mantêla uniforme - é bombeada para fora à mesma taxa. Quanto tempo levará para que só 10 kg de sal permaneçam no tanque?